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Auszug aus einer Arbeit unter dem Titel: 



Zu Riemann's Abhandlung „Über die Anzahl der 



Primzahlen unter einer gegebenen G-rösse". 



Von H. VON Mangoldt, 



Professor an der Technischen Hochschule zu Aachen. 



(Vorgelegt vou Hrn. Schwarz am 14. Juui [s. oben S. 507].) 



In der zweiten Auflage von Riemann's gesammelten mathematischen 

 Werken wird auf S.154 in den der Abhandlung «Über die Anzahl 

 der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse« beigefügten Anmerkungen 

 eine Stelle aus einem Briefe, dessen Entwurf in Riemann's Nachlass 

 vorliegt, mitgetlieilt. Dort stellt Riemann selbst die Behauptungen 



T T T 



»dass zwischen und T etwa ^^^—l^ t^— reelle Wurzeln 



Ire 2n 2n 



der Gleichung §(a)=:0 liegen« 



und 



»dass die Reihe ^ (Li \x- ") + Li \x- ")), wenn die Glieder 



nach wachsenden a geordnet werden, gegen denselben Grenz- 

 werth convergirt wie 



1 "Td /i jU{s-m 



Imlx ] ds \s §{0) 



(7'^ 



x'ds 



bei unaufliörlichem Wachsen der Grösse b«. 

 als einer genaueren Begründung bedürftig hin. 



Im Nachfolgenden soU unter Benutzung der Ergebnisse, welche 

 Hr. J. Hadamard in seiner Abhandlung »Etüde sur les proprietes des 

 fonctions entieres et en particulier d'une fonction consideree par Rie- 

 mann«' gewonnen hat, gezeigt werden, wie man die zweite dieser Be- 

 hauptungen vollständig und hinsichtlich der ersten wenigstens so viel 



^ Journal de Mathematiques inires et appliquees, 4™« Serie, Tome 9, 1893, 

 S.171-215. 



