884 Gesammtsitzung vom 19. Juli. — Mittheilung vom 14. Juni. 



beweisen kann, dass die Anzahl dei- Wurzeln, deren reelle T heile 

 zwischen und T liegen, bis auf Grössen niedrigerer Ordnung 

 durch den angegebenen Ausdruck dargestellt wu'd. 



I. 



Aus jeder der beiden von Riemann gegebenen Darstellungen der 

 Function ? {t) durch bestimmte Integrale folgt leicht, dass diese Function 

 eine Nullstelle, deren reeller Theil gleich Null wäre, nicht besitzt. 

 Dagegen sind , wie aus der oben angeführten Arbeit des Hrn. Hadamard 

 hervorgeht , Nullstellen . deren reelle Theile von Null verschieden sind, 

 wirklich vorhanden, und zwar in unendlicher Menge. 



Demgemäss seien nun 



diejenigen NuUstellen. deren reelle Theile positiv sind. Dabei sei 

 jede etwa vorhandene mehrfache NullsteUe in diese Reihe so oft auf- 

 genommen, als ihre Ordnungszahl angibt, und die Anordnung sei eine 

 solche, dass die reellen Theile der einzelnen Glieder mit wachsendem 

 Index niemals abnehmen. 



Bei Anwendung dieser Bezeichnungen besteht, wie Herr Hada- 

 mard bewiesen hat, die Gleichung 



(I.) m = 'm-^M-''' 



Fasst man in der Ebene der complexen A^eränderlichen t einen 

 ganz im Endlichen liegenden Bereich B ins Auge, dessen Begrenzung 

 keine Nullstelle der Function '&,[t) enthält, so ist die Anzahl der im 



Innern dieses Bereiches liegenden Nullstellen bekanntlich gleich -^ 



multiplicirt mit dem Zuwachs, welchen die AbAveichung der Function 

 'i.(t) erfahrt, wenn die Veränderliche t die Begrenzung von B in posi- 

 tiver Richtung durchläuft. 



Obgleich man diesen Satz nicht ohne "Weiteres zur Bestimmung 

 der Anzahl der in einem gegebenen Bereiche enthaltenen Nullstellen 

 der Function '%{t) benutzen kann, so erweist es sich doch als möglich, 

 durch eine Untersuchvuig der Aenderungen, welche die Abweichung 

 der Ftmction §(0 hei gewissen passend gewählten Bewegungen der 

 Veränderlichen t erfährt, über die Lage der Nullstellen einige Auf- 

 schlüsse zu gewinnen, und zwar in folgender Weise: 



Man bezeichne durch a<i zwei beliebige reelle Constante und 

 lasse die Veränderhche t längs des geraden Verbindungsweges vom 

 Punkte a—ii zum Punkte b — \i übergehen. Dann dreht sich jede 



