V. Mangoldt: Zu einer Abhandlung Riemann's. 885 



einzelne der Geraden, welche die Nullstellen der Function '^(t) mit dem 

 beweglichen Punkte ( verbinden, in positivem Sinne. Die Zunahmen, 

 welche die Abweichungen der einzelnen Linearfactoren der Function 

 5(0 bei der angegebenen Bewegung des Punktes t erfahren, sind daher 

 sämmtlich positiv, und eben deswegen bleibt die Summe jeder 

 beliebigen endlichen Anzahl dieser Zunahmen stets kleiner als der 

 Zuwachs, um welchen sich die Abweichung der Function 'S,{t) selljst 

 bei der gleichen Bewegung vergrössert. 

 Nun sei 



(\i der eben erwähnte Zuwachs der Abweichung der Function '^{t), 

 A die Anzahl derjenigen Nullstellen der Function ?(<), deren 

 reelle Tlieile nicht ausserhalb des Intervalles a-b liegen, 

 jede so oft gezählt, als ihre Ordnungszahl angibt, und 

 S die Summe aller (positiv zu nehmenden, hohlen) Wmkel, 

 unter welchen die Bahn des Punktes t von diesen Nullstellen 

 aus gesehen erscheint, wobei wieder jeder einzelne Winkel 

 so oft zu zählen ist, als die Ordnungszahl der zugehörigen 

 NuUstelle angibt. 

 Dann ist insbesondere 



(2.) «<<!'• 



Ferner ergibt sich aus einfachen geometrischen Betrachtungen 



(3.) .4 -arctg (1(6 -«))<«, 



wobei das Zeichen arctg den zwischen und y tt liegenden Bogen be- 

 deutet. Also ist um so mehr 



(4.) ^■arctg(4(6-a))<(|.. 



Für die Zahl c|) kann man al)er durch die folgenden Ueberlegungen 

 eine obere Grenze gewinnen: Man hat nach Riemann 



(5.) ■^(t) = n{\ + ^ü) • (-^- + ti) ■ T~^^^ ■'"^•Ut + ii)^ 



wol)ei die Zeichen n und 'C die gleiche Bedeutung haben, wie in 

 Riemann's Abhandlung. Setzt man hier 



< = T — 4«, 

 wo r eine reelle Veränderliche bedeuten soll, so erhält man 



^(T-|-0 = n(i«)-(i +!«■)• (! + «■)• TT - '-^2 + «). 

 Versteht man nun unter In den reellen und miter 



/§(t-v;«): indri): /(1+y«); ^(1+«); /?(2 + «) 

 'Sitzungsberichte 1894. ''' 



