886 Gesanmitsitzung vom 19. Juli. — Mittheilung vom 14. Juni. 



diejenigen Werthe der Logaritlimeu, welche tiü- t = reell .sind und 

 sich zugleich mit r stetig ändern, so folgt 



(6.) rs, (r-U) = in (f «■) + /(l + \n) + / (1 + rt) - (1 + 4-tO /tt + /C (2 + ri). 



Zur Umformung des ersten Gliedes der rechten Seite dieser Glei- 

 chung kann man die Ergebnisse benutzen , welche Herr T. J. Stieltjes 

 in seiner Abhandlung «Sur le developpement de log r(«)«' gewonnen 

 hat. Nach Gleichung (20.) dieser Abhandlung ist nämlich, wenn man 

 die negativen reellen Werthe aus dem Gebiet der complexen Ver- 

 änderlichen z ausschliesst, für alle übrigen Werthe von z 

 (7.) m[z):^lz+lT{z) = {z + ^i)lz-z + \l{27:) + .J[z), 



wobei für alle vorkommenden Logarithmen diejenigen Werthe zu 

 nehmen sind , welche bei stetiger Fortsetzung für reelle positive Werthe 

 von z ebenfalls reell werden, und wo •/(-) ein Ergänzungsglied be- 

 deutet, für welches Hr. Stieltjes verschiedene Ausdrücke aufgestellt 

 hat, und dessen absoluter Werth eine ebenfalls von Hrn. Stieltjes 

 angegebene Grenze nie überschreitet. 



Unterwirft man nun die Veränderhche r der Bedingung 

 r>0 

 und setzt man in (7.) z^^^ri, so erhält man 



/n(|ri) = (| + |T«)(;(|T) + 4-7i-«)-i« + |Z(27r) + J(yT«), 

 wo l{\r) den reellen Werth bedeutet, und hierauf aus (6.) 



(8.) /§(T-|«) = (| + ^«)(/(|T) + |7rJ)+/(l + ^rt) + /(l+rt) 



- I w(H-/7r) -|/(i TT) + /C (2 + «)+./(y«). 



Nun denke man sich jeden der beiden Ausdrücke l'i,(T-^i) und 

 ^^2 + rt) + J(|n) in seinen reellen mid imaginären Theil zerlegt und 

 bezeichne 



durch F(t) den Coefficienten von i in dem Ausdruck l'5,{T-^i) 

 und 



durch /(:■) den Coefficienten von i in dem Ausdruck 



/a2 + «) + -/(y«:). 



Dann erhält man 

 (9.) F(0) = 0, 



(10.) F{-t) = -F{t) 



und für t>0 aus (8.) 



(l I.) F{r) = \t /(yT) + arctg (-.^t) + arctg r + |;r-|T (l+ln) +/(r), 



' Journal de Matliemati(|ues pures et appliquees, 4""°"= Serie, Tome 5, li 



S- 425-444- 



