V. Mangoldi-: Zu einer Abluindlting Rikmann's. 887 



wobei man unter dem Zeichen arctg jedesmal den zwischen und ■, n 

 enthaltenen Bogen zu verstehen hat. Ferner ergibt sich vuiter Benutzung 

 der Ungleichung 



und der Formeln (25.) und (26.) der Abhandlung des Hrn. Stieltjes 

 för T > 



(12.) -ni.r^^-)~^<f{r)<l[^n-). 



Die Function F(t) kann daher ans (11.) wenigstens näherungsweise be- 

 rechnet werden. Dasselbe gilt von dem früher erklärten Zuwachs <C 

 der Abweichung der Function 'S.{t). Denn in Folge der Festsetzungen, 

 welche im Vorangehenden ziu" eindeutigen Erklärimg der vorkommenden 

 Logarithmen getrofien wurden, ist 



(13.) ^=V{b)-F{a). 



Mit Hülfe dieser Entwickelnngen gewinnt man über die Vertheilung 

 der Nullstellen der Fimction S(0 nach einigen Nebenrechnungen zu- 

 nächst die folgenden Aufschlüsse: 



1. Die Gleichung '&,{t) = ^ besitzt sicher keine Wurzel, 

 deren reeller Theil absolut genommen ;^ 12 wäre; 



2. Sind h und k irgend zwei reelle Zahlen, welche die 

 Bedingung 



to-1 = 1. 56100 £t5/f-4 



erfüllen, so ist die Anzahl derjenigen in der Reihe 

 der Nullstellen 



a,, a,, ttj, ■ • ■ 



enthaltenen Glieder, deren reelle Theile nicht ausser- 

 halb des Intervalles /* -A- •••/* + /f liegen, kleiner als 



klh. 



Auf Grund dieses letzteren Satzes gelangt man ferner nach längerer 

 Zwischenrechnung zu folgenden Ergebnissen: 



3. Für alle Werthe der reellen Zahl /», welche > 12 

 sind, wird die Anzahl derjenigen Wurzeln der 

 Gleichung ?(0 = 0, deren reelle Theile positiv und 

 nicht grösser als /; sind, dargestellt durch den Aus- 

 druck 



Ä. ; /L_ Jl + A + , i 0.34 (W-+ 1-35(^/0 + 1.38}, 



2n Zn "iTT 4 



75' 



