V. Mangoldt: Zu einer Abhandlung Riemann's. 889 



ist. Aus (i6.) und (17.) folgen sofort die Gleicliungen 



(18.) 



(I9-) 

 welelien man als dritte die leicht direct z\i bestätigende Gleicliung 



(20.) lim ^^-^ ~ ds =^ ^ 



/. = cc 27ri I s 



anreihen kann. 



Diese Formeln gewähren die Mögliehkeit, bei Verfolgung des 

 RiEMANN'schen (iedankengangs zur Bestimmung zahlentheoretischer 

 Functionen die Anwendung des FouEiER'schen Satzes zu vermeiden. 



Nun sei n eine Veränderliche, welche alle ganzzahligen positiven 

 VVerthe annelimen kann, und i(n) diejenige Function von n, welche 

 durch die drei folgenden Gleicliungen erklärt wird: 



(cc.) L(1) = 0, 



(,G.) L(«) = 0, wenn n aus verschiedenen Pi-imfactoren zu- 

 sammengesetzt ist , 

 (7.) L{n) = lp, wenn n=p" ist, wo p eine Primzahl und a einen 



ganzzahligen positiven Exponenten bedeutet. 

 Ferner sei r eine beliebige reelle Zahl, .)-• eine oberhall) 1 liegende 

 reelle Constante, [x] die gi-össte in x enthaltene ganze Zahl und, für 

 den Fall, dass a- keine Potenz einer Primzahl ist, 



dagegen, wenn x Potenz einer Primzahl ist 



Endlich sei a eine reelle positive Constante, welche die Bedingung 

 « + /• > 1 erfüllt. 



Dann besteht, wie sich mit Hülfe der Formeln (16.) -(20.) zeigen 

 lässt, die Gleichung 



a + hi 



(21.) —hm — ~ i- ds=^ S.(x,r). 



^ ' k^oü^ni J C{s+r) s ^ ' 



