V. MANGOLrrr: Zu einer Abhandlung Rikmann's. <S91 



Auch j(>(les einzelne Glied der Summe, welche in (ileichung 

 (22.) auf der linken Seite steht, nähert sicli einem endlichen Grenz- 

 werth, und zwar ist, wie mittelst der Formeln (14.) und (18.) nach- 

 gewiesen werden kann 



u = cc27rij{s + r—l)- + a: s (r-~)-+al [r-'^f + a; ' 



Die Summe dieser Grenzwerthe erweist sich als ühereinstimmend 

 mit dem Grenzwerth, welchem die rechte Seite der Gleichung (22.) 

 zustrebt. Setzt man nämlich zur Abkürzung 



so gilt der folgende Satz: 



Wenn die Glieder der unendlichen Reihe 



X "'(•'■•''•) 



■.=1 

 so geordnet werden, wie sie bei wachsenden Werthen 

 des Index v auf einander folgen, so ist die Reihe für 

 alle reellen Werthe von r und für alle reellen posi- 

 tiven Werthe von x convergent; und wenn x'>\ ist, 

 so wird ihre Summe durch den Ausdruck 



^ '^ r-1 - '^ 2«(r + 2«) 



dargestellt, wobei, falls ein Glied dieses Ausdrucks 

 für einen speciellen Werth von r die unbestimmte 

 Form -}, annimmt, statt dieses Gliedes der ent- 

 sprechende Grenzwerth zu nehmen ist. 

 Der Beweis beruht auf folgenden Überlegungen: es sei H die Anzahl 

 derjenigen Zahlen a„ , deren reelle Theile =A sind, und die Zahl h von 

 vorn herein so gross angenommen , dass // mindestens gleich 1 ist. 



H 



Dann lässt sich, wenn man der Summe ]^ l'K,(a;,r) die Gestalt gibt 



i in(., .) =i^-t'^+':;^^. • '-ds-± ' -[ y'^^-^y. ■ ^ds 



_ (JL Tkds-l\ ■ 4^ 2(r-4) ^ ^-+^+"'-'' _ / _ J_ "V y+^-T-V N 



\27ri ' J s * )' -^ (r- -!,)- + a't ^ r-\-a„i \ 27ri J s + r-^-a,i j 



_-£^ / : .fi_j^.rj: — \ — -A 



