V. Mangoldt: Zu einer Abhandlung Riemann's. 895 



Setzt man nämlich in (31.) ?- = 0, so erhält man 



J « ,j « j ;r - 1 vfy 



+ 2"y cos (fl^i-r) ■ ^„'^ '., rfp - •2T a. sin (a.,/^) ■ [ .,'^~'.. rfp. 



Diese Gleichung erweist sich aber als mit der eben erwähnten 

 RiEMANN'schen Formel übereinstimmend, so dass mit ihrer Aufstellung 

 <las Endergebniss der RiEMANN'schen Untersuchung auf etwas anderem 

 Wege wieder erreicht wird. 

 Dritter Fall: Es sei 



rS-2. 

 Dann erhält man, wenn -•2X und -■2(X + 1) diejenigen beiden negativen 

 geraden ganzen Zahlen bedeuten, welche den Wertli r einschliessen, 

 in der Weise , dass 



-2(\ + \)<rS--2>. 



ist. die Gleichung 



Ix Ix 



(33-) A^,r)=i^ ^-JL^du-Xy~ ^^-^« 



+ 2^^ cos{aJx)- A ^rfp-2"V a„sin(a„/j-) ■ \~ — '-dp. 



Wenn es gelingen sollte, nachzuweisen, dass die Wurzeln v„ der 

 Gleichung §(0 = sämmtlich reell sind, oder auch nur die imaginären 

 Theile dieser Wurzeln zwischen engere Grenzen als — [« und +4* ein- 

 zuschliessen , so würden sich aus den vorangehenden Entwickelungen 

 eine Reihe von asymptotischen Gesetzen der Zahlentheorie ergeben. 

 So würde z. B. aus (28.) folgen 



hm — ^ = 1 



und hieraus, dass die Summe der Logarithmen aller Primzahlen von 

 1 bis .1- für grosse Werthe \on x bis auf Grössen niedrigerer Ordnung 

 mit X seil ist ülieroinstinunt. 



