992 Sitz. d. phys.-math. Cl. v. 26. Juli. — Mitth. a. d. G.-S. v. 5. Juli. 



und dieser in z. , c^ , u , -f; — , -r — , • • • t^— — algebraischen Gleicliuns' 



dz, dzl dz"^-' * " 



würde ebenfalls das den beiden Dii3ferentialgleichungen (i) und ^2) ge- 

 meinsame Integral genügen. Da jedocli angenommen werden durfte, dass 

 das bezügliclie Integral der partiellen Differentialgleichung (i) nicht 

 schon einer gewöhnlichen Differentialgleichung von niederer Ordnung 

 als der w?''" Genüge leistet, so muss die Differentialgleichung (6) eine 

 identische sein, 



es muss also die in den Grössen z^ , z, , u , t, , f^_ , . . . /,„_, 

 algebraische Function (p ein Integral der partiellen 

 Differentialgleichung (6) mit eben diesen unabhän- 

 gigen Variabein sein, welches weder Null noch eine 

 Constante, d.h. eine nur von u abhängige Function 



sein kann, wenn wir annehmen, dass ^^ — von Null 



verschieden ist.' 



Gäbe es also keine partielle Differentialgleichung von der Form ( i ), 

 welche irreductibel ist, d. h. keine, welche die Eigenschaft hat, dass 

 keines ihrer Integrale einer gewöhnlichen algebraischen Differential- 

 gleichung irgend welcher Ordnung, in welche die eine der unabhängigen 

 Variabeln nur als Parameter eintritt, Genüge leistet, so müsste für 

 jede Wahl der algel^raischen Function F von z^ und z, eine ganze 

 positive Zahl )ii derart bestimmbar sein, dass die lineare partielle 

 Differentialgleichung (6) ein in z^, z,,u, t^, t,, . . . t^_^ algebraisches, 

 von Null und einer Constanten verschiedenes Integral besitzt, und wir 

 woUen nun untersuchen , ob dies wirklich der Fall ist , nachdem wir 

 zunächst eine Eigenschaft eines solchen algebraischen Integrales von 

 (6) festgestellt haben werden. 



Sei (p^ eine solche algebraische Function von z^,z,,t^,. . ■t,„_^, in 

 Avelche auch u als Parameter eintreten kann, und werde dieselbe als 

 die Lösung einer mit Adjungirung von F algebraisch irreductibeln 

 Gleichung 



(7) ¥ + '"i (-1, -2, ^, u,t,,. . . t„,_,) <p"-' + . . . 



+ i\{z,,z,,F,u,t,,. . .t,„_,) = o 



dargestellt, in welcher r„. . . r, rationale Functionen der eingeschlossenen 

 Grössen bedeuten , so wird , da die Ableitungen von F wiedermn rational 

 durch z^ , z^ und F, die Ableitungen von <p, rational durch 



' Wenn /«. > i, ist die obige Belianptung unmittelbar ersichtlich; ist jedoch 



d<f> d<j> " dF 



m = i. so "cht (6) in ^r F~ — = ^r— q> über, und könnte als constantes Integral 



CZi 0^2 022 



nur </) = o haben, welches aber nach (i) und (2) als gemeinsames Integral M = const. 

 liefert, das selbstverständlich bei der Untersuchung nicht in Frage konunt. 



