Königsberger: Irreductible partielle Differentialgleichungen. 995 



worin die willkürliche Function w auch die Variabein z^ und z, ent- 

 halten kann, vmi sogleich aus der Form dieser Integrale zu erkennen, 

 dass, wenn für irgend eine Specialisirung der Grösse c oder der will- 

 kürlichen Function w ein Integral von z, und z^ miabhängig sein soll, 

 nothwendig 



d'F 



dzt 



dF 

 dz. 



verschwinden oder einer Constanten gleich sein muss, was gegen die 



^ d'F 

 früJiere Annahme Verstössen würde, da -7^ — von Null verschieden, und 



azi 



F eine algebraische Function von z, und z^ sein sollte. Dagegen ist 



d^F 

 unmittelbar zu sehen . dass . wenn -^ — identisch Null ist , die Dif- 



azl 



ferentialgleiclumg (8) unendlich viele von z^ und z^ unabhängige, in 

 t,, t^, . . . t„_, algebraische und rationale Integrale besitzt, da dieselbe 

 dann in 



dip „ 3rf) dF d(h dF d(p dF d(b 



übergeht und durch den Ausdruck 



worin w eine willkürliche Function bedeutet, befriedigt wird.' 



' Sei z.B. F(c, .c,) = -— +C2, so geht die obige Difterentialgleichung in 

 über, deren allgemeines Integral durch 



dargestellt wird, worin w eine willkürliche Function der eingeschlossenen Grössen be- 

 deutet, die auch ?< als Parameter enthalten kann. Verlangt man nicht wie oben ein 

 nur ^ , 4 .••■ <m—i enthaltendes algebraisches Integral, sondern ein Integral, welches 

 algebraisch aus Zi , Z2 , ii . . . . ("„,—1 zusammengesetzt ist. so lässt sich leicht beweisen, 

 dass ein solches nicht existirt. Denn angenommen es wäre 



e""'u;Je''z2 + -^ rfci, tie~'", . . . ;„_i «"'"""'''' j = alg (cj, r^, m, 4, . . . 4— i). 



so ist zunächst ersichtlich, dass, weil die linke Seite, wenn für Zi,u,tj,. . . tm—i spe- 

 cielle numerische Werthe gesetzt werden , vermöge der rechten Seite in eine algebrai- 



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