Künigsbkrger: Irrednctihle partielle nifferentialgleicluingen. 1005 



V oder o, viii oder o, . . . v oder o nnnehmen, iV, 



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und die positive oder negative ganze Zalily bestimmte 

 Grössen darstellen, die aucli verschwinden können, 

 ein von Null und einer Constanten verschiedenes, 

 in 0, , Cj und ^rational ausdrückbares Integral haben. 

 Stellen wir nun dieses Resultat mit dem am Anfange der Unter- 

 suchung erhaltenen zusammen, so folgt, 



dass alle diejenigen linearen partiellen Differential- 

 gleichungen der Form 



in welchen F{:,.:,] eine irreductible algel)raische 



Function bedeutet, tür welche -f, — von Nvill verschie- 



den ist, irrednctihcl sind, für welche die partielle Dif- 

 ferentialgleichung {30) für keine Wahl der positiven 

 ganzen Zahlen v und 1» , der beliebigen Grösse N^ 

 und der positiven oder negativen ganzen Zahl 7, die 

 auch Null sein kann, ein von Null und einer Gon- 

 stanten verschiedenes, in - , , c, und F rational aus- 

 drückbares Integral besitzt. 

 Es wird zu untei'suchen sein, ob i^-Functionen von der verlangten 

 Beschaffenheit überhaupt existiren. 



Wir legen der weiteren Untersuchung für F{z^ , z^) die Form zu 

 Grunde 



(31) F{z,.z:)=f,z,+f,zl+f^z\ + ...+f,£i, 



worin /,, /j ,... /l- rationale Functionen von z^ bedeuten sollen, und 



werfen die Frage auf, 



wie müssen die rationalen Functionen f^,f^....J\ 

 von r, und die positive ganze Zahl k beschaffen sein, 

 damit die partielle Differentialgleichung 



= (2.iiV,/: + A(A-i)...ii\':/,) 



+ (3 . 2iVj3 + (A + I ) A . . . 2N,f,^:j z^ + ... 



+ (/, _ A + 3) (A- - A + 2 ) i\;/;_,,+34-'-^' + ... + k(k-i) Nj,£:-^ 



^-y(_/;^-2/;c,^-... + A^c^')^^ 



