Königsberger: Irreductible partielle Differentialgleichungen. 1007 



und es wird die der Beziehung (35) entsprechende Substitution die 

 Difi'erentialgieichung (34) in 



9i^ „ ,. - . ,.. Sil 



2^- c/;^. +fx + ... +M) i^ = iMA +,/;-. + . . . +M-') n 



überführen . welche für c, ^ o in 



übergeht, und die endliche und von Null verschiedene rationale Function 

 (fi,),^_o = %, von s,, welche auch in eine Constante übergehen könnte, 

 zum Integral haben müsste; nimmt man nun an, dass /, von Null 

 verschieden ist, so kann y^^ keine Constante sein, habe ferner die 

 Differentialgleichung 



(36) ^ = pj.u 



für keinen Werth der ganzzahligen Constanten p ein von Null 

 und einer Constanten verschiedenes, in z^ rationales Integral, 

 so wird Xi nicht eine rationale Function von z^ sein können, und es 

 folgt somit, dass tu, nicht endlich sein konnte. Nimmt man aber an, 

 (•^,), _g = oiij sei unendlich und zwar von der v'™ Ordnung und setzt 



(37) ^^ = cr"w, 



worin (w,). _^ := %, endlich und von Null verschieden ist, so wird die 

 diu-ch (37) transformirte Difterentialgleichung (34) 



für z. 



(/.-% +A^l + ... +M) äv = - " 1/. +M- + ■■■ + A- ■ 



3% -, 



übergehen . und somit nach den oben gemachten Annahmen wiederum 

 kein constantes oder in z, rationales Integral Xi haben können. Es 

 folgt somit, 



dass die Differentialgleichung (34) unter der Vor- 

 aussetzung, dass /", von Null verschieden, und die 



Ditterentialgleichung ^ — ^pf^u tür keinen positiven 



oder negativen ganzzahligen Werth von p ein von 

 Null vmd einer Constanten verschiedenes, in c, ratio- 

 nales Integral besitzt, kein voji Null und einer Con- 



