1008 Sitz. d. phys.-math. Cl. v. 26. Juli. — Mittli. a. d. G.-S. v. 5. Juli. 



stanten ver.schiedenes. in z^ und c, rationales Integral 

 haben kann.' 

 Sei 



IL c4, = o , /3^ = o und 7 von Null ver.scliieden , 

 habe also die Diiferentialgleichung' 



(38) ^-(/,c, +/,- + ... +/,4)^ = 7(/,+ 2/,c, + ...+y!-/;4-')-4.' 



ein von Null und einer Constanten verschiedenes, in z^ und z, rationales 

 Integral x^, , und mag zunächst wieder angenommen werden, dass 

 (\|/,), _^ ^ w, endlich ist, so wird diese im allgemeinen rationale 

 Function von z, der Difl'erentialgleichung genügen 



dw „ 



und wenn vorausgesetzt wird, dass /, A^on Null verschieden und 



' Es mag bemerkt werden . dass die oben für die Differentialgleichung (36) fest- 

 gestellte Bedingung auch dadurch ersetzt werden kann, dass die Differential- 

 gleichung 



3y . 

 («) ^=Av 



kein algebraisches Integral besitzt. Dass nämlich die Existenz eines rationalen 

 Integrales von (36) die eines algebraischen von («) nach sich zieht, ist unmittelbar aus 

 der Substitution u ^ v^ ersichtlich, aber es gilt auch das Umgekehrte; sei nämlich ri 

 ein algebraisches Integral von («), also die Lösung einer algebraischen irreductibeln 

 Gleichung 



(/3) u" -i-ri(ci) !/•»—' -I- ... -t- r„(^,) = o, 



deren Coel'ficienten rationale Functionen von c, sind, so wird die Difl'erentialgleichung {«) 

 bekanntlicii durch jede Lösung t'i . v,,...i\ der algebraischen Gleichung {ß) befriedigt, 

 und ist nun die erste nicht verschwindende Potenzsumme der Lösungen dieser Gleichung 

 die 1''«, so dass 



(7) "i -t- «'j + • ■ ■ + !''^ = -R(.:i) 



eine von Null verschiedene rationale Function von r, bedeutet, so folgt, weil (_n) sich 

 durch die Gleichung ersetzen lässt 



dv-' 



8^7 = "-^'""' 

 dass 



dv'j dvl dv" 



" = 1-/1 V , 



ein rationales Integral. 



