KÖN'iGSBERtiKK: liTeiliictible pMrliflle Diflerentialgleicliiingeri. lull 



der Constanten B und der positiven oder negativen 

 ganzen Zahl p (Null eingeschlossen) ein von Null 

 und einer (Jonstanten verschiedenes, in z^ ratio- 

 nales Integral besitzen, kein von Null und einer 

 Constanten verschiedenes, in z, und z^ rationales 

 Integral haben kann. 



{«) 



^e-l'-''''"M.. = r{..)e-f''"'-- + c, 



worin c i'iiic f'oiistante iiinl r{zi) eine rationale Function von r, bedeutet, identiseli ist 

 ilaniit, dass das Integral der linken Seite von («) sich überliaupl nicht algebraisch 



durch c, und e ■' '' ausdrücken lässt, wenn angenommen wird, dass e ■ ' nicht 

 algebraisch durch c, sich darstellen lässt. Denn wäre 



[ß) .■ = C«-^^'*'/.*. = f'U,«-/^'*'), 



worin -F eine algebraische Function bedeutet, also Vi die Lösung einer mit Adjungirung 

 von ^i und e ■ '' irreductibeln algebraischen Gleichung 



(7) v'- -^ ri\Zi,e ■ ')v''—' + ... + r>\Ci,fl ■' ' "'j = o, 



in welcher r, , . . . r,, rationale Functionen bedeuten , so kann zunächst v, als Integra, 

 der Difl'erentialgleichung 



(ö) dz; "" -^^ 



dv, 

 betrachtet werden ; da sich aber aus dertUeichung (y) tj — als ganze Function >. — i'«" Grades 



von V, ausdrücken lässt mit (^oefficienten, welche rational aus c, und e •'■'" zusannnen- 

 ge.setzt sind, so würde sich Vi vermöge der Gksichung (r)) als Lösung der algebraischen 

 Gleichung 



e ■' •/. = ^„\zi,e ■' ) + §,\:,,e ■'■' ) v + . . . + ^^_-,\z^,k ■'■' /ü'--' 



ergeben, in welcher wegen der Irreductibilität von (7) j^ = ^^ = . . . = o^_j identisch 

 verschwinden müssen, so dass alle Lösungen von (7) der Dilierentialgleichung (S) ge- 

 nügen werden; aber dies ist unmöglich, da aus 



9ül _ (1u, _ _ 9t)>, _ —ff, dz, 



•/= 



sich ergeben wüi'de, ilass die Lösungen sich nur um additive Constanten unterscheiden, 

 was für eine irreductible Gleichung bekanntlich nicht angeht. Es muss somit X = i, 

 d. h. zunächst das F der Gleichung (ü) eine rationale Function der eingeschlossenen 

 Grössen sein. Difl'erentiirt man luui die Gleichung (ß), so dass man 



3e" 





erhält, so wird diese Gleichimg in Folge der Annahme, dass sich e • " nicht alge- 

 braisch durch Ci ausdrücken lassen sollte, in e ^ "' identisch sein, und setzt man 



daher in (s) statt dieser Grösse ce ■' "', worin c eine willkürliche Constante bedeutet, 

 so ergibt sich durch Integration von (s) und Vergleichung mit (ß) die wiederum in 



„-,//.* 



identische Gleichun" 



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