Kömosüerger: Irrediictible pnrtielle niflerentialgleichungen. 1015 



nales Integral besitzt — es wird somit unter den festgestellten 

 Bedingungen auch die Annahme, dass \|/, für 2^ ^ o unendlich winl. 

 unstatthaft sein. 



Es folgt daher, 



dass die Differentialgleichung (43) unter der Voraus- 

 setzung, dass ^> 3 ,/i »./l 1/3 ,/x und Z^^., von Null ver- 

 schieden, keine homogene lineare Relation zwischen 

 /, und /^ , mit den constanten Coeffieienten et, , ,8, , 

 ferner keine homogene lineare Relation zwischen 

 den Functionen J\,f^ und /', ^_, mit den constanten 

 Coeffieienten, einer willkürlichen ('onstan'ten , a^ 

 und ß^ stattfindet, endlich die beiden Di fferential- 



gleichungen 7=^ — = pf^u, in welcher p eine beliebige 



negative ganze Zahl ist, und t, — =/,?/ + a,/, + ,o,/^_^, 



kein von Null und einer Constanten verschiedenes, 

 in z, rationales Integral besitzen, kein von Null und 

 einer Constanten verschiedenes, in c, und -^ ratio- 

 nales Integral besitzen kann.' 



Sei 



IV. 7 von Null verschieden, ct,^ und /3^ nicht zugleich Null, 

 habe also die Differentialgleichung 



(44) ^ - (./: c, +./;- + ... +f,z^) ^ = Kf. + ß,f>) 



+ ^J,~t-' + jif. + 2/;^. + . . . + i(f,~':-H 



ein von Null und einer Constanten verschiedenes, in z, und c, ra- 

 tionales Integral %|/, , von welchem zunächst angenommen werde, dass 

 (4^X =0 = w, endlich sei, so würde die aus (44) für c, = o hervor- 

 gehende Differentialgleichung 



' Nach den obigen Ausführungen gilt auch der Satz, 



dass die Differentialgleichung (43) unter der Voraussetzung, dass 

 /, ./j nnd/x von Null verschieden, zwischen/2 und/;^ keine homo- 

 gene lineare Relation mit den constanten Coeffieienten ct^.ß^ 



besteht, ferner die Quadratur y(«2/2 + /32/x)f^2i Ivcine rationale 



Function von i, ist, endlich die Differentialglei ch ung jr^ = ^/jU 



für kein ganzzahliges negatives f ein von Null und einer Con- 

 stanten verschiedenes, in Zi rationales Integral besitzt, kein 

 von Null und einer Constanten verschiedenes, in r, und c, ratio- 

 nales Integral besitzen kann. 



