Königsbergf.r: Irrerluctible partielle Differentialgleichungen. lOlV 



Über, worin 7 eine positive ganze Zahl bedeutet, so wird diese durch 

 die Sul)stitution 



(47) w = r+c,P. 



in 



?P. . , 9i2 



(4«) ^|^-(.A~.+./.^^ + ...+A4)3T 



+ riA + 2/;^, + ... + (k - 1 )f,4-') 

 +(/; + (7+i)./;--. + (27+i)./;^i + - •• + ((/'•- i)7+i)./;~=-')" 



and für ;, ^ o. wenn 7 ^ i in 



(49) |^ = (^, + r)/, + ^,/•,+/,^l, 

 und wenn 7 eine positive ganze Zahl > i , in 



(50) -^ = 7'/3+/,^^ 

 de, 



übergehen. Da das Integral (P,). _^= *^, der letzteren Gleiclnuig weder 

 Null sein kann, wenn /, von Null verschieden, noeli eonstant, 

 wenn zwisclien/, und/, keine homogene lineare Gleichung 

 mit willkürlichen constanten (loefficienten besteht, noch 

 eine in ~, rationale Function, wenn angenommen wird, dass die 



Differentialgleichung ^=r— = /" w + ii/l , worin i? eine belie1)ige 



Constante bedeutet, kein von Null und einer Constanten ver- 

 schiedenes, in c, rationales Integral besitzt, so wird nur die 

 Gleiclmng (49) zu untersuchen sein. und. wenn wieder vorausgesetzt 

 wird, dass /,./;' und f, von Null verschieden, dass ferner 



' Es wird nicht ülierflüssig sein, an einem Beispiel zu zeigen, dass die Be- 

 dingung, dass^/z von Null verschieden. Iieiznl)clialten ist; sei z. B. die pai'tielle Hiflereiitial- 

 gleichnng vorgelegt 



(„) j^={c,.. + .^)g-, 



so ist leicht zu sehen, dass dieselbe nicht irreductibel ist, da das Integral 



^ -/'"""■"■ 



der gewöhnlichen Diflerentialgleichung genügt 



