KöNiGSBRRaER: Irreductible partielle Differentialgleichungen. 1021 



ü])er, deren Integral, wenn ^, nicht identisch Null ist, weder Null noch 

 c'onstant noch eine rationale Function von z^ sein könnte, wenn wieder 

 angenommen wird, dass /, von Null verschieden und die Dif- 



ferentialgleichung 7^ — = pj^u für keinen positiven ganz- 

 zahligen Werth von p ein von, Null und einer Constanten 

 verschiedenes, in c, rationales Integral besitzt. 



Es bleibt somit nur noch die Möglichkeit übrig, dass ^, , also nach 

 (59) auch O, identisch verschwindet, und somit nach (47) sich als 

 Litegral von (46) w, = (;, imd daher vermöge der Sul)stitution -^zz^zj^w 

 oder, da i' = i, vermöge \|/=:cr'w sich als Integral von (44) ■^\^czj' 

 oder, weil r = — at, ist, -J/, ^ — 0^2-7' ergibt, wie dies auch in der 

 That, wenn man berücksichtigt, dass 



7 = I,,S, =,63 = . . . ^/3i._,_^-,:=0 , C= — C6, , C43= 20!,^ , CC^^ 30t, , . . . 06^. =(Ä' — \) CC^ 



ist, die Differentialgleichung (44) somit in 



(61) g^ - (/. c, +./; ~i+... +y;4) ^^ 



+ (,/; + 2/;~. + 3/;^ + • • • + ^/;4-') ^■ 



übergeht, der Fall ist — mit Festhaltung der oben gemachten Vor- 

 aussetzungen ist also dies der einzige Fall, in welchem die Difterential- 

 gleichung (44) ein in den Variabein rationales Integral besitzen kann. 

 Fassen wir die hier gewonnen Resultate zusammen, so finden wir, 

 dass die Differentialgleichung (44) unter der Voraus- 

 setzung, dass nicht sämmtliche /3 verschwinden und 

 zugleich 7 = 1 ist, kein von Null oder einer Constanten 

 verschiedenes, in ^'i und ;i2 rationales Integral besitzen 

 kann, wenn angenommen wird, dass/, j/^ und/^ von 

 Null verschieden, zwischen /,,/ und /, keine homo- 

 gene lineare Relation mit constanten Coefficienten 

 existirt, und die Differentialgleichungen 



(62) ^ ~ =(y + p)J,u,j^=f,u + BA- ' 



-^ = 7/.«, + ^J, + /3j, , 1^ =f\zc+Aß_ + ßJ,, 



in welchen p eine beliebige negative ganze Zahl, 

 A und B beliebige Constanten bedeuten, kein von 

 Null und einer Constanten verschiedenes, in z, ra- 

 tionales Integral besitzen. Sind jedoch sämmtliche 



