Königsberger: Irreductilile partielle Diflerentialgleichungen. 1023 



Constanteii verscliiedenes, in z^ und 2^ rationales 

 Integral, wenn, unter der Voraussetzung, dass nicht 

 sämmtliclie ß verschwinden und zugleich 7 := i ist, 

 k> 3 >fi,f2,f3,A,fx+i von Null verschieden, weder 

 zwischen/,,/^,/, noch z wischen /, ,/3 und/x^_, eine 

 homogene lineare Relation mit Constanten Coef- 

 ficienten besteht, noch die Differentialgleichungen 



(65) '^j = MJ\u, ~ = Aj\u + AJ, + AJ, 

 und 



worin für ein ganzzahliges 7 Jf und A^ nur eine posi- 

 tive oder negative ganze Zahl (Null ausgeschlossen) 

 zu bedeuten braucht, ein von Null oder einer Con- 

 stanten verschiedenes, in z^ rationales Integral be- 

 sitzen. Sind aber sämmtliche /3 := o und zugleich 

 7^1, und ist von den Differenzen 



aij — 2u^ , 0,^ — 3^6, , . . . a^. — [k — i)ci^ 



die letzte verschwindende a, — (o" — i)ci,, wo cr<Ä', so 

 sind die entsprechenden hinreichenden Bedingungen 

 die, dass /,,/, 5/3 ,.. ./.^., ,/ und/^, von Null ver- 

 schieden, dass weder zwischen/, und/3,/, ii"*^/4' 

 . . . /, und /^.,, noch zwischen/,/,/ und zwischen 

 /;/,/_,_, eine homogene lineare Relation mit con- 

 stanten Coefficienten stattfindet, und dass endlich 

 die Differentialgleichungen 



(66) -7^ = Mf^ u , -— = / u + 7I3/ , 



du ??< 



^ = o:/,« + (:^,^. — c-fld,)/^, , -^— =f^u + BJ^ + Bj]^, 



kein von Null oder einer Constanten verschiedenes, 

 in z, rationales Integral besitzen. Sind endlich 

 sämmtliche p^o, 7^1 und (r^k, so hat die Diffe- 

 rentialgleichung (33) kein von Null und einer Con- 

 stanten verschiedenes, in z, und z^ rationales In- 

 tegral, wenn /,/,/,/ ,/_^, von Null verschieden, 

 weder zwischen/,/,/ noch ZAvischen fi, /]■/,+, 

 eine homogene lineare Relation mit constanten 



