FicHs: Über lineai'e Differentialiileichungen. lllJ 



in der Form 



(12) «■ = ^, 1, Lp V ; dx + V . y. n- 



enthalten, avo 7, von .c unabhängige Grössen sind.' 

 Setzen wir demnach 



(13) %J^{ft-"<idx = P,,„, 

 so ei'giebt die Gleichung (9) 



(14) --llrA-) = — X>.A-,.+2c^*-"''^"' (i-=.,2,...,n) 



■^^'ö fV.« '^'011 >i' unabhängig. 



Multipliciren wir die Gleichungen (14) bez. mit c^, . i^, , . . . , ^„ und 

 addiren dieselben, so ergiebt sich aus den Beziehungen 



(15) 



\ 2a- '"*• ' ^k = o, für -A<n — i, 



( 1 6) .4„_, = -V , V^ p,. ^ 4 +V^. V^_ r,.„r„4. 



Ehe wir aus dieser Gleichung unsere Folgerungen ziehen, schieben 

 wir hier die folgende Bemerkung ein. 

 Substituiren wir in (i) mul (2) 



(17) i/ = (.v—aYu, 



wo a einen der singulären Punkte, f eine beliebige von / unabhängige 

 Grösse bedeutet, so erhalten wir 



(18) ^" = Bji + B,u' + . . . + 7^„_,w"'--'' +.-!„_, »'"-"', 

 vi 



worin B^, B,, . . . , B„_^ im allgemeinen von ^4^ , A^, . . . A„_^ verschie- 

 dene rationale Functionen von x sind. 



Die Gruppe der durch die Substitution (17) aus (i) erhaltenen 

 Differentialgleichung ist also ebenfalls von f unabhängig, luid die 

 Coefficienten der höchsten Ableitungen nach .r in den Gleichungen (2) 

 und (18) sind übereinstimmend. 



' S. meine Arbeit, Aniiali di Mateiiiatica , Ser. II. Bd.4, p.37. Mai 1870, und 

 Frobenius, Crelle's Journal, Bd. 77, S. 256. 



^ S. Frobenius, Crelle's Journal. Bd. 77. S.248. 



