Fuchs: Über linem-e Differentialgleichungen. 1121 



Es ist demnach, wenn a von t unabhängig ist. der Ausdruck 



für .r = a gleich Null. Ist (i von / abhängig, so versclnvindet für 

 /* > 2 derselbe Ausdruck noch innner für x =^ a. 



Da ^1„_, eine rationale Function von x sein soll, so können in 

 (i6) von den Gliedern e^,„ii„i^/,. nur solche verbleiV)en, welche zu 

 einem ganzzahligen Exponenten gehören, d. li. wo /;, — r^. ganze 

 Zahlen bedeuten. 



Da nun der Ausdruck -/i,, ^^. zum Exponenten r„ — 'V + " — i §^" 

 hört, so folgt demnach aus Gleichung (i6): ^4„_, verschwindet stets 

 für x^a, wenn a von t unabhängig und keine Differenz der eine 

 Grupi^e bildenden Wurzeln der zu a gehörigen detemiinirenden Funda- 

 mentalgleichung ihrem absoluten Werthe nach die Grösse n — 2 über- 

 schreitet. Für n~> 2 verschwindet unter denselben Umständen A„_^ 

 für X ■=■ a, auch wenn a von t abhängig ist. 



Hiermit ist der Eingangs dieser Nummer erwähnte Satz bewiesen. 



Wir erkennen zugleich, dass vl„_i für x^a auch dann ver- 

 schwinden muss, wenn auch die Differenzen r„ — 77. absolut 

 genommen den Wertli 11 — 2 überschreiten, sobald die Glieder 

 Ck,cf\a^k iii Gleichung (16), welche zu einem verschwindenden 

 oder negativen Exponenten gehören, in dieser Gleichung 

 sich wegheben. 



Dieses tritt aber immer ein. wenn vi^^^. mit log(.r — a) behaftet 

 ist, weil A„_. eine rationale Function von x sein soll. 



Wenn wieder 



(i) P(//) = .y"" + /',,y"'""' + ..-+7'„y = o 



die Eigenschaft hat, dass die Substitutionsgruppe derselben von einem 

 in den Coefflcienten p^ auftretenden Parameter t unabhängig ist, d. h. 

 wenn ein Fundamentalsystem von Integralen dersellien zugleich die 

 Gleichung 



befriedigt, wo A^, A^, . . . , A^_^ rationale Functionen von x sind, so ge- 

 nügen' A^, A^, . . . , j'i„_j einem Systeme linearer Differentialgleichungen, 



' S. Sitzungsberichte, 25. Feljru.ir 1892, S. 162. 



