Fl CHS : Über lineare Differentialgleichungen. 1125 



Aus Gleieliung (4) ergiebt sich, dass Ä^ für einen nicht siiigulären 

 Punkt der Diflerentialgleichung (i) nicht unendlich wird. Es ist da- 

 her Äj eine ganze rationale Function, welche für j: = a^,a^, ..., a^_^ 

 verschwindet. 



Ist VI, . »ij das zu .(• =^ A3 geliörige Fundainentalsvstem luul ist 



"I 



VI, = .v'%K_ ( — 1 + 7'1i log — , 



wo ''^*, und %y nach ganzen positiven Potenzen von - fortschreitende 

 Reilien bedeuten , welche für x = 00 nicht verschwinden , so ist 



(12) .•*, + .v^ = I . 



In Gleichung (4) werden die mit Integralen behafteten Bestand- 

 theile für x = oo nicht unendlich . und die übrigen Glieder heben sich 

 niu" dann nicht heraus, wenn 2.s\ , 2s^ ganze Zahlen sind. Findet dieses 

 nicht statt, so ist ^4, für x = co ülierhaupt nicht unendlich. Sind 

 aber 28, und 2S^ ganze Zahlen, so niuss 



2'% =1+5' 

 2^*x = I — i/ 



sein, wo (/ eine jiositive ganze Zahl. 



Ist y in Gleichung (11) niclit Null, so heben sich die Glieder mit 

 '/), VI, und mit »i^ heraus und das Ctlied mit -/i] wird für x^a nicht 

 unendlich. 



Nur wenn 7 ::= o, kann in Gleichung (4) ein Glied vorkonnnen. 

 welches für x==:qo der {g-\- 1) ten Ordnung unendlich wird. In diesem 

 Falle ist A, eine ganze rationale Function vom Grade f/ + i . Da sie 

 für X = a, , a^ , . . . , a._, verschwinden muss, so ist 



p — i ^c/+i 

 oder 



p<(/-h2. 



8. 



Sei z. B. (/:=!, so ist p < ^ . 



Wir wollen untersuchen, ob die Gleichung (5) voriger Nummer 

 durch eine ganze rationale Function 



(i) ^, = /»(^ — f'i)(''' — «2) = i>i(p(x) , 



wo )n von .r unabhängig, befriedigt werden kann. 



