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Über den EiSENSTEiN'schen Satz von der Irreduc- 

 tibilität algebraischer Grieichungen. 



Von Leo Koenigsberger. 



Ich erlaube mir im Folgenden eine kurze Zusammenstellung der Re- 

 sultate einer Untersuchung vorzulegen, deren weitere Ausführung ich 

 im »Journal für die reine und angewandte Mathematik« veröfl'entlichen 

 werde. 



Wenn auch von Kkonecker gezeigt worden, wie man bei einer 

 vorgelegten algebi'aischen Gleichung durch eine endliche Anzahl von 

 Operationen feststellen kann, ob dieselbe zerlegbar oder irreductibel 

 ist, so ist doch bis jetzt der bekannte ErsENsxEiN'sche Satz der einzige 

 geblieben, der uns lehrt, unmittelbar aus einer gewissen Eigenschaft 

 der Goefficienten einer Gleichung auf deren Irreductibilität zu schliessen, 

 und der, obgleich von so einfacher und elementarer Natur, doch schon 

 hinreichte, um die Irreductibilität der Kreis- und Lemniscatentheilungs- 

 gleichungen nachzuweisen. Ich legte mir nun, durch andere Unter- 

 suchungen, welche die Irreductibilität der Differentialgleichungen be- 

 treffen, veranlasst, die Frage vor, was der EisENsxEm'sche Satz, nach 

 welchem eine algebraische Gleichung 



a^x" + a,x"~' + a^x"~'' + . . . + a„_,x + a„ = o, 



deren Goefficienten sämmtlich mit Ausnahme des ersten durch 

 eine Primzahl p theilbar sind, der letzte aber nicht durch 

 p', stets irreductibel ist, für die Theorie der algebraischen Func- 

 tionen bedeutet, um sodann mit Hülfe functionentheoretischer Be- 

 trachtungen wieder auf die Eigenschaften algebraischer Zahlen zurück- 

 schliessen zu können — und in so fern gehören diese Untersuchungen 

 in die Glasse der von Kronecker, Dedekind und Weber angestellten. 

 Nachdem sich als Analogon zu dem ersten' EisENSXEm'schen Satze 

 der folgende ergeben hatte: 



^ Es mag hier bemerkt werden, dass die von Eisenstein in seiner Arbeit »Über 

 die Irreductibilität und einige andere Eigenschaften der Gleichung u. s. w. (Journ. f. 

 Mathem. B. 39) gegebene Erweiterung des oben angeführten Satzes, wonach jede 



