1136 Sitzung der physikalisch - mathematischen Classe vom S.November. 

 Jede algebraische Gleichung der Form 



( I ) F^ (x)i/ + (.1- — «) F, {x)f-' -+■ {x — cc) F._ (x)f --h... 



-\-(x — oc)F„ _, (x)y + (x — Ol,) F„ (x) = o , 



in welcher F^(u) und F„{ci) A'on Null verschieden sind, 

 ist irreductibel, 

 untersuchte ich die Verzweigungsart der zu dieser Classe algebraischer 

 Functionen gehörigen RiEMANN'schen Flächen und fand, 



alle w-deutigen algebraischen Functionen, welche in 

 a; = a einen ?z-fachen Verzweigungsj)unkt besitzen, 

 in welchem sie den Werth Null' annehmen, und in 

 dessen Umgebung die Entwickelung mit dem Gliede 



{x — ä)"" beginnt, und nur diese sind Lösungen von al- 

 gebraischen Gleichungen der Form (i). 



Da aber nach einem bekannten Satze der Functionentheorie alle 

 algebraischen Functionen irreductibel sind, deren sämmtliche Blätter 

 der zugehörigen RiEMANN'schen Fläche durch Verzweigungsschnitte mit 

 einander zusammenhängen, so ergab sich, dass der EisENSTEiN'sche 

 Satz für Zahlengleichungen die Analogie zu dem einfach- 

 sten Falle irreductibler algebraischer /i-deutiger Functionen 

 bildet, nämlich derer, für welche die 7i Blätter in einem 

 Verzweigungspunkte sämmtlich einen Cyklus bilden, und 

 die Entwickelung in der Umgebung dieses Punktes cc mit 



dem Gliede {x — a)" beginnt. 



Aber die Irreductibilität einer ?i- deutigen algebraischen Function 

 mit n in einem Verzweigungspunkte zusammenhängenden Blättern bleibt 

 bestehen , wenn die Entwickelung in der Umgebung des Verzweigungs- 

 punktes mit {x — cc) " anfängt , was auch r für eine ganze , zu n relativ 

 prime Zahl sein mag, und ich entwickelte zunächst den Satz: 



Alle ?i-deutigen algebraischen Functionen, welche 

 in A' = o6 einen n-fachen Verzweigungspunkt besitzen, 

 in welchem sie den Werth Null annehmen, und in 

 dessen Umgebung die Entwickelung mit dem Gliede 



{x — flj)" beginnt, worin r relativ prim zu n ist, und 



Gleichvmg mit ganzen Coefficienten irreductibel ist, in welcher, ausser dem ersten, 

 sämmtliche Coefficienten durch eine Primzahl m, aber nicht sämmtlich durch m^ theil- 

 bar sind, offenbar auf einem Irrthum beruht. 



' Die Zurückführung des Werthes y = ß auf den Fall y = o erfordert nur die 

 .\nwendung einer linearen Substitution. 



