Koenigsberger: Die Irreductibilität algebraischer Gleichungen. 1137 



mir diese sind Lösungen von algebraiselien Gleichun- 

 gen der Form 



+ . . . + [x — oC)^ " ^ F„_^ {x)y + [X — ot.Y F„(x) = o , 



worin F^(x) , F^(x) , . . . F„(x) ganze Functionen von x 

 sind, von denen die erste und letzte für x ^ ot nicht 

 verscliwinden, und e(^) die grösste in ~ enthaltene 

 ganze Zahl bedeutet — darausfolgt, dass alle Gleichun- 

 gen von der Form (2), wenn r zu n relativ prim ist, 

 irreductibel sind. 

 Auf Grund der oben gefundenen Analogie bildete ich nun die 

 Zahlengleichung 



<-) + ' _ <") + ' 



(3) o^xf + jj ^"^ a^x" ' + J5 ^'" a^x" + . . . 



in welcher p eine Primzahl, r relativ prim zu 71, a^ und a„ 

 durch p nicht th eilbar sind, und warf die Frage nach deren 

 Irreductibilität auf — in der That ergab sich, dass alle diese Glei- 

 chungen irreductibel sind. 



Der Beweis wurde in doppelter Weise gefuhrt; einerseits durch 

 Untersuchung der Discriminante dieser Gleichung, deren Primfactoren 

 für die Feststellung der Irreductibilität von Gleichungen eine wesent- 

 liche Rolle spielen, andererseits dvu'ch Einführung algebraischer Sub- 

 stitutionen, welche die Behandlung dieses Problems auf den Eisenstein- 

 schen Fall zurückführen. 



Nachdem aber die Analogie erkannt war und sich in der eben aus- 

 gesprochenen Erweiterung des EiSENSxEiN'schen Satzes bestätigt hatte, 

 lag es nahe, RiEMANN'sche Flächen mit mehreren Verzweigungspunkten 

 zu untersuchen, aus deren Cyclen die Irreductibilität unmittelbar ge- 

 schlossen werden kann, und die so construirten Gleichungen wieder 

 nach dem oben ausgesprochenen Princip auf die Theorie der alge- 

 braischen Zahlen zu übertragen. Es ergab sich der Satz: 



Alle ?i-deutigen algebraischen, für x = a, und x -^ lo 

 verschwindenden Functionen, welche durch Glei- 

 chungen der Form definirt sind: 



(4) FMy" + {^--4'^\-^-lif'''FMy"-' 



+ (^. _ ^) » (^,; _ ^) ■■ F, (.(■)/-= + . . . 



+ (x — oC) "■ {x — (o) " F„{x) = o, 



Sitzunssberichte 1894. 98 



