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Über die analytische Darstellung elliptischer 



Functionen mittelst rationaler Functionen einer 



ExponentiaKunction. 



Von H. A. Schwarz. 



(Vorgetragen am 1. März [s. oben S. 227].) 



In der Note sur la theorie des fonctions elliptiques , welche Hr. Hermite 

 der sechsten Auflage des Traite elementaire de cak'ul difl'erentiel et 

 integral von S. F. Lacroix als Anhang beigegeben hat, werden zwei 

 besonders einfache Arten der analytischen Darstellung von doppelt 

 periodischen Functionen veraiittelst einfach pei-iodischer Functionen 

 in Betracht gezogen. 



Die doppelt periodische Function wird bei der einen durch ein 

 nach zwei Seiten sich ins Unendliche erstreckendes einfach unendliches 

 Product, bei der andern durch eine nach zwei Seiten sich ins Un- 

 endliche erstreckende einfach unendliche Reihe dargestellt. In dem 

 ersten Falle ist jeder Factor des unendlichen Productes, in dem 

 zweiten ist jedes Güed der unendlichen Reihe eine einfach periodische 

 analytische Function des unbeschränkt A^eränderlichen Argumentes. 



Es möge die unabhängig veränderliche Grösse, welche das Ar- 

 gument dieser Functionen ist , mit u , die betrachtete doppelt periodische 

 Function mit 9(m), ein Factor des unendhchen Productes mit *(«), 

 ein Glied der unendlichen Reihe mit *^(m) bezeichnet werden. Es 

 bezeichne 2a) eine Periode des Argumentes der beiden einfach periodi- 

 schen Functionen 4>(m) und *{!<), (2«, 2ü)') ein Periodenpaar des Ar- 

 gumentes der doppelt periodischen Function 9(m). 



Nach dem von Hrn. Hermite angegebenen Bildungsgesetze hat 

 das unendliche Product, bez. die unendliche Reihe die Gestalt 

 •• • *(« — S^ioo') • • *(«— 4ü)') • 4'(k— 20)') • *(«) ■■!>(?<+ 20)') ■ *(m + 4(jü') • • *(« + 2mü)')- ■ • 



+ i'(?/.-2«a>')-- +l'(M-4a>') + *(!<-2üL)') + ^(«) + Y(« + 2cü') + *(« + 4oo')H h*(M+ 2noo') + ■ 



=.^„.Y(m + 2/ji'cl)'), 

 («=1,2, 3, ■•■CO) (m'^0, ±1, ±2,-^-±co) 



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