Schwarz: Darstellung ellipt. Functiüiien durch die ExponentiaUimction. llöJ 



Innerhalb jedes ganz im Endlichen liegenden Bereiches des Ar- 

 gumentes u gibt es stets nnr eine endliche Anzahl solcher singu- 

 lärer Werthe. 



Die Anzahl der Factoren des betrachteten unendlichen Productes, 

 bez. der Glieder der unendlichen Reihe, welche für diese singulären 

 Werthe des Argumentes nicht den Charakter einer ganzen, sondern 

 den Charakter einer gebrochenen rationalen Function besitzen, ist 

 stets eine endliche. 



Damit das unendliche Product die Eigenschaft habe, für alle 

 nicht singulären Werthe des Argumentes u unbedingt convergent zu 

 sein, ist nothwendig, dass die Gleichungen bestehen 



lim *((< — •2;/w') = 1 . lim $(?«+ 2?;w') = 1. 



Analogerweise müssen, damit die unendliche Reihe für alle nicht 

 singulären Werthe des Argumentes m unbedingt convergent sei, die 

 Gleichungen 



lim ^ ((/ - •lina') = , lim ^ (u + 2;««') ^ 



erfüllt sein. 



Wird für die Function *(m) eine rationale Function ^(1:;) der 

 Exponentialfunctioii 



gesetzt, so ergibt sich als noth wendige Bedingung dafür, dass das 

 unendliche Product 



• • ■ F(/r' C) • F(I,-''C) ■ FCO ■ F{/r ■ F(h' L') • ■ • 



für alle nicht singulären Werthe des Argiimentes u unbedingt con- 

 vergent ist, das Bestehen der Bedingungsgleichungen 



F(co) = i, F{0) = 1. 



Eine rationale Function des Argumentes t;, welche diese beiden 

 Bedingungsgieichungen liefriedigt, möge mit F^(l^) bezeichnet werden. 



Wird für die Function *(«) eine rationale Function F{<0 der oben 

 erklärten Exponentialfunction (£(«) = ? gesetzt, so ergibt sich als noth- 

 wendige Bedingung dafür, dass die unendliche Reilie 



■ ■ • + F{h-' C) + F{h-' ?) + FiK) + F{K' r,) + F{h' ?) + ••• 



für alle nicht singulären Werthe des Argumentes n unbedingt con- 

 vergent ist, das Erfülltsein der Bedingungsgleichungen 



F{co)=^Q, F(0) = 0. 



Eine rationale Function des Argumentes ?, welche diese beiden 

 Bedingungsgleichungen befriedigt, möge mit F^{c,) bezeichnet werden. 



