Schwarz: Darstellung ellipt. Functionen clinch die Exponentialfunction. 1191 

 Hieraus ergibt sich aber, dass die beiden unendliclieu Reihen 



n > «ö n > n„' 



für alle in Betracht gezogenen Werthe der Grösse ^, mithin für alle 

 der Bedingung- 

 genügenden Werthe des Argumentes «, unbedingt und in gleichem 

 Grade convergiren. 



Da man aus jeder der Functionen F^('Q durch die Gleichung 

 i^,(^) = l+F„(?) 

 eine der Functionen Fji:,) erhält, so ist durch das Vorstehende zu- 

 gleich der Beweis geführt, dass die beiden unendlichen Producte 



n,.F, (h'X) -: n„ ( 1 +F„ (irX)) • n„F, (ir-x) = n„ ( i + Fßr'x)) 



n > «0 n> nj' 



für alle der Bedingung * 



genügenden Werthe der Grösse ?, mithin für alle der Bedingung 

 log nat Ä' < «R — 5 log nat R" 



Cü 



genügenden Werthe des Argumentes u, unbedingt und in gleichem 

 Grade convergiren. 



Durch das betrachtete unendliche Product 



n„,F, (Ir^X) , (fi' = 0, ± 1 , ± 2, . • ■ ± oo) 



bez. durch die unendliche Reihe 



2„ J^,(Ä'"'?) (fl' = 0, ± 1, ± 2, ■ • ■ ±co) 



wird demnach, wenn G(?<) die oben erklärte Exponentialfunction ])e- 

 zeichnet und 



C = (g(«), Ä = g(a)') 



gesetzt wird, für jede den angegebenen Bedingungen genügende 

 Function F,(?) bez. F„(^) eine eindeutige, doppelt periodische Function 

 cp(m) des unbeschränkt veränderlichen Argumentes u analytisch dar- 

 gestellt, welche für alle endlichen Werthe des Argumentes u den 

 Charakter einer ganzen oder gebrochenen rationalen Function besitzt, 

 und für deren Argument (2ü),2a)') ein Periodenpaar ist. 



n. 



Wird zu dem im Vorhergehenden betrachteten unendlichen Pro- 

 ducte ein belie1)iger constanter Factor, zu der betrachteten unendlichen 



