ScHWAHz: Darstellmis;' ellipt. p'iinctidiien diii'ch die Expunentiairunctioii. I 1 .'o 



der elliptischen Functionen« angegebenen Gleichung (8.) unmittell)ar 

 folgt , wobei 



(7-) ?^=e(v«), r-=e{-i«) 



zu setzen ist und yj die Grösse 



(8-) ^ = £ = fM 



l)ezeichnet. ergibt sich aus der vorstehenden Gleichung (2.) die folgende 



(r = l, 2. 8, • r) (« = 1, 2, 3, •■■^) 



Hiermit ist die Richtigkeit der ausgesprochenen Behauptung, 

 soweit dieselbe die Darstellbarkeit einer beliebigen eindeutigen ellip- 

 tischen Function durch ein einfach unendliches Product der be- 

 trachteten Form betriiFt, bewiesen. 



Für jede eindeutige elliptische Function cp{u) kann das System 

 der Grössen m,,, v,. auf unendlich mannigfaltige Weise so gewählt 

 werden, dass je zwei verschiedenen Systemen dieser Grössen auch zwei 

 verschiedene Darstellungen der Function (p{u) durch ein einfach un- 

 endliches Product der betrachteten Form entsprechen. 



Um die Darstellbarkeit einer beliebigen eindeutigen elliptischen 

 Function dui'ch eine einfach unendliche Reihe der betrachteten Form 

 nachzuweisen, kann man von der im Art. 16 der »Formeln und Lehr- 

 sätze zum Gebrauche der elliptischen Functionen« angegebenen Gleichung 

 (3.) ausgehen. 



Es sei 



ein vollständiges System einander nicht congruenter Werthe des Ar- 

 gumentes u, für welche die betrachtete ehideutige elliptische Function 

 cp(u) unendlich gross wü'd. 

 Es sei für ft=l, 2, — m 



c, (« - "u)"' + f ;; (» - ^\r + 1;" (« - '>)-' + • • • + ciy' (« - oj"i^ 



die Summe aller Glieder mit negativem Exponenten, welche in der 

 für die Umgebung des Werthes i\, geltenden nach Potenzen der 

 Grösse «-('„ fortschreitenden Reihenentwickelung der Function (p(u) 

 enthalten sind. 



Unter diesen Voraussetzungen bestehen die Gleichungen 



(lO.) n + K + ---+r„, = r. C, + a + --- + C„ = 0, 



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