Schwarz: Darstellung ellipt. Functionen durch die Exponentialfnnction. 1195 



kleine Wertlie von C unendlich klein zu werden. Dieselbe Eigen- 

 schaft besitzt mithin auch die Function 





Hieraus ergilit sich, dass die durch die Gleichung (13.) erkLärte 

 rationale Function i^,(0 der Grösse ^ die Eigenschaft besitzt 

 F„(oo) = F„(0) = 0. 



Der Gleichung (14.) zufolge ist also die eindeutige elliptische 

 Function ^(m) durch eine einfach unendliche Reihe von der zu An- 

 fang dieses Abschnittes angegebenen Form dargestellt. 



Ist m > 1 , so ist es auf unendlich mannigfaltige Weise möglich, 

 das System der Grössen ('„ zu wählen, in der Art, dass je zwei vei'- 

 schiedenen Systemen dieser Grössen zwei verschiedene Darstellungen 

 entsprechen. 



Ist m = 1 , so gehört zu jeder primitiven Periode 2cl> des Ar- 

 gumentes der Function <f(ii) nvu- eine einzige solche Darstellung. 



Es ist aber zu bemerken, dass bei der im Vorhergehenden be- 

 trachteten Darstellung einer eindeutigen elliptischen Function (p(u) durch 

 ein einfach unendliches Product, bez. durch eine einfach unendliche 

 Reihe eine beliebige Periode des Argumentes dieser Function aus- 

 gewählt imd mit 2co bezeichnet werden kann, es ist also in allen 

 Fällen eine Darstellung der betrachteten Art auf unendlich viele 

 Weisen möglich. 



Die Richtigkeit der am Anfange dieses Abschnittes ausgesprochenen 

 Behauptung ist somit in allen ihren Theilen bewiesen. 



Die Gleichung (14.) kann auch aus einer Gleichung hergeleitet 

 werden, welche in der zweiten Auflage des Werkes Theorie des 

 fonctions doublement periodiques par Briot et Bouquet auf S. 291 

 angegeben ist. 



m. 



Durch die vorhergehende Untersuchung hat sich ergeben, dass 

 die Gleichung F„{co) ^F„{0) als eine der Bedingungsgleich vuig i^CJ, := 0. 

 (ft^ 1, 2, — m) entsprechende Fägenschaft der Function -fo(C) angesehen 

 werden kann. 



Durch folgende Betrachtung kann ohne Zuhülfenahme einer 

 Eigenschaft doppelt periodischer Functionen der Nachweis geführt 

 werden, dass überhaupt das Bestehen jeder der beiden Gleichungen 



F{oo) = FiO), %^C^ = 0, (f.= l,2,...m) 



das Bestehen der anderen zur nothwendigen Folge hat. 



