Schwarz: Zur Theorie der Minimalflächen. 1241 



Zunächst möge das Verhalten der Function h{u) bei dieser ana- 

 lytischen Fortsetzung untersucht werden. 



Gehört zu dem Werthe u = p + qi der Werth z=:Zo, so gehört zu 

 dem Werthe u=p — qi der Werth « = — ^„. Da für g' ^ zugleich z = 

 ist, so ist der reelle Theil der Function A(m) eine för alle der Um- 

 gebung des Werthes ?< = angehörenden Werthe des Argumentes u 

 eindeutig erklärte, endliche und stetige Function der beiden reellen 

 Veränderhchen p und q. Da die Stetigkeit des reellen Theiles der 

 Function h {u) auch bei dem Übergänge zu dem Werthe ?< = bestehen 

 bleibt, so ergibt sich, dass die Function h\u) für alle der Um- 

 gebung des Werthes « = angehörenden Werthe des Argumentes u, 

 mit Einschluss des Werthes m = 0, den Charakter einer ganzen 

 Function besitzt, welche für alle dieser Umgebung angehörenden 

 reellen Werthe des Argumentes rein imaginäre Werthe annimmt. Der 

 Werth der rein imaginären Grösse /i(0) hat föi- die vorliegende Unter- 

 suchung keine Bedeutung. Setzt man daher h{u)-h{0) an die Stelle 

 von h (u) , so ergibt sich , dass für die Umgebung des Werthes m ^ 

 eine Entwickelung von der Form 



/), (!«) 1= i{h^u + A,M' + ä,m' + ■ • ) 



besteht, wo die Potenzreihe A„m + A,m^ + ä,m^ + - • für alle der betrachteten 

 Umgebung angehörenden Werthe des Argumentes u unbedingt con- 

 vergirt und alle Coefficienten h„,h^,h^,-- reelle Werthe haben. 



Hieraus ergibt sich, dass für das betrachtete Gebiet eine Gleichung 

 von der Form 



h'{u) ~ i{h„ + •2h,u + Zh^u- + • •) 



besteht, ein Ergebniss, auf welches sich die folgende Untersuchung 

 stützt. 



Das Gebiet der Veränderlichkeit der complexen Grösse u werde 

 nun auf das Innere eines um den Punkt 0' als Mittelpunkt beschrie- 

 benen Kreises beschränkt, dessen Radius R so klein ist, dass die 

 Ableitung h'{u) für keinen von dem Werthe ?*=0 verschiedenen Werth 

 des Argumentes u, dessen absoluter Betrag kleiner ist als R, gleich 

 wird. 



Unter dieser Voraussetzung ergibt sich aus der Gleichung 



UW + [gW + Wi^)Y = , (A. a. 0. S. 6 1 5) 



dass keine der Functionen 



f\u) + ig'(u), f'{u)-ig'{u) 



für einen von dem Werthe ?< = verschiedenen innerhalb des abge- 

 grenzten Gebietes liegenden Werth des Argumentes n den Werth 

 annimmt. 



