Schwarz: Zur Theorie der Minimaltläclien. 1243 



Für alle den Bedingungen 



-oo<9ty<;0, -oo<3ty, <0 



genügenden Werthe der Argumente v, i\ besitzen die analytischen 

 Functionen 9''(y), iI/''(«), i^"(ü,) den Charakter ganzer Functionen. 



Bezeichnen x, y, z die Coordinaten eines Punktes des Flächen- 

 stückes Mund x.,,y^_,z„_ die Coordinaten des entsprechenden Punktes 

 des Flächenstückes J/, , so bestehen dem Vorhergehenden zufolge 

 die Gleichungen 



*2 + yJ = e~'-'"" [x + yi], z,=i z. 



Hieraus- ergibt sich die Functionalgleichung 



oder 



vf{v-\-'±m) — e~'"""vf(p) = e'-'""\l/1{i\) — \b''^(i\ - •27ri). 



Da aber eine analytische Function eines complexen Argumentes «' 

 nur in dem Grenzfalle zugleich eine analytische Function der zu diesem 

 Argumente conjugirten complexen Grösse y, ist, in welchem jede dieser 

 beiden Funcj;ionen sich auf eine Constante reducirt, so ergibt sich 



tp' {v + 27ri) — P~-"'"cp''{v) =: C, 



\p*{c, — 2m) — 6i"'"'""i^*(yi) = — C, 



wo C eine Constante bezeichnet. 



Wenn die Veränderlichkeit des Argumentes v durch die Bedingung 



-TT <JK(m) 5 TT 



beschränkt wird, so werden durch die Functionen (p''(v) und ({>*{v + 2m) 

 zwei benachbarte Zweige der Function 9(m) dargestellt. Der Gleichung 



cp''(y + '2ni) = e~-'"'' (p" (v) + C 



zufolge ist jeder dieser beiden Zweigwerthe eine ganze Function 

 ersten Grades des andern Zweigwerthes , wobei die Coefficienten dieser 

 Function von dem Argumente v unabhängig sind. 



Dies gibt Veranlassung, einen aus den Ableitungen der Function 

 cp(?«) auf rationale Weise gebildeten Ausdruck herzuleiten, welcher 

 als Function des Argumentes ti betrachtet in der Umgebung des sin- 

 gulären Werthes ;« = un verzweigt ist. 



Ein solcher Ausdruck ergibt sich durch Elimination der additiven 

 Constante C und der multi2:)licativen Constante e'''""'. 



Es ist nämlich 



9 (i^ + -2m) = e - —9 (v). 



du du 



d , d ., ., d . d 



du ^ dtr ^ ' du '^ du 



