1244 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom 20. December. 

 Wenn die Veränderlichkeit des Argumentes v durch die Bedingung 



— c» < 9t w < log R 

 beschränkt wird, wobei R die im Vorhergehenden erklärte Bedeutung 

 hat, so besitzt die Function -j-cp'(«) = -j-(p(u) den Charakter einer ganzen 



Function und wird für keinen der angegebenen Bedingung genügenden 

 Werth des Argumentes v, bez. für keinen der Bedingung 0<:\u\<R 

 genügenden Werth des Argumentes ?/ gleich 0. Es besitzt daher auch die 



Function ^log^<p*(t') = ^log^cp(«) = ^ für alle der Bedingung 



0<\u\<R genügenden Werthe des Argumentes u, als Function dieses 

 Argumentes betrachtet, den Charakter einer ganzen Function. Weil 



die Function t- log -r- <?(«)> wie nachgewiesen wurde, überdies in der 



du ^ du " 



Umgebung des singulären Werthes «=0 den Charakter einer ein- 

 deutigen Function besitzt, so ist dieselbe für die Umgebung des 

 singulären Werthes « = 0, <:\u\<R, durch eine nach Potenzen der 

 Grösse u mit ganzzahligen Exponenten fortschreitende convergente Po- 

 tenzreihe darstellbar. 



Geht man von der Function i^ti^i) zu der Function i|^*(«) über, 

 so ergibt sich zunächst, dass zwischen den beiden benachbarten Zweig- 

 werthen 4/*(u) und \p' (v + ini) der Function \p{u) die Gleichung 



il^" (w + 2 ;r« ) = ß' ""' xp* (v) - C, 



besteht, wo C, die zu der Grösse C conjugirte complexe Grösse be- 

 zeichnet. 



Hieraus folgt 



d ^, . „ d 



du du ^ ' 



^1 ^,»/ ,-> d . d ^, 

 du '^ du ' du '^ du ^ ' 



Auf analoge Weise, wie dies für die Function ^loff — cp(m) se- 



du '- du ^^ ' ^ 



folgert wurde, ergibt sich, dass auch die Function 



du ^du^^ ' x1j'(u) 

 für die Umgebung des Werthes « = 0, 0<|M|<i?, durch eine nach 

 Potenzen der Grösse u mit ganzzahhgen Exponenten fortsclireitende 

 convergente Potenzreihe darstellbar ist. 



Es handelt sich nun darum, den Nachweis zu führen, dass für 

 die beiden analytischen Functionen ?^ und ^ der Werth «=0 



cp (u) xp'{u) 



em ausserwesentlich singulärer ist. Insbesondere muss bewiesen 



