Schwarz: Zur Theorie der Minimaltlächen. 1247 



A uf ganz analoge Weise ergibt sich , wenn g„. g^, g.,-- Constanten 

 bezeichnen, dass die Function \h(u) für die Umgebung des singulären 

 Werthes m = durch eine Potenzreihe von der Foi-m 



xp (u) = m" (^r, +g,u + gy- + ■■) 

 darstellbar ist, wenn die bei der Integration des Ausdruckes 4j'{u)du 

 auftretende additiA^e Constante ausser Betracht gelassen wird. 



Zu den gefundenen Ausdrücken für die Functionen 9(m) und di(u) 

 kann noch je eine Constante additiv hinzugefügt werden. Die reellen 

 Theile dieser Constanten müssen entgegengesetzte, die imaginären 

 Theile dieser Constanten müssen dieselben Werthe haben. Da es 

 jedoch bei der vorliegenden Untersuchung auf die Werthe dieser Con- 

 stanten nicht ankommt, so möge jeder derselben der Werth bei- 

 gelegt werden. Unter dieser Voraussetzung erhält jede der beiden 

 im Vorhergehenden mit C und C, bezeichneten Constanten ebenfalls 

 den Werth 0. 



Es möge festgesetzt werden , dass die Potenzen u-~" und u" durch 

 die Gleichungen «""" = ?'"""'", u" = e"' erklärt werden sollen. 



Werden nun die für die Umgebung des singulären Werthes m = 

 geltenden, nach Potenzen des Argumentes u fortschreitenden Reilien- 



entwickelungen der Functionen ,, , und , ,, , gebildet, so zeigt sich, 



cp'(?<) xp'{u) '^ 



dass jede dieser beiden Reihenentwickelungen nur ein Glied enthält, 

 welches eine Potenz von u mit negativem Exponenten zum Factor 

 hat. Dieser Exponent hat den Werth -1. 



Von den beiden Coefficienten /_, und g^ muss nothwendig einer 

 gleich .0 sein ; wäre dies nämlich nicht der Fall , so würde sich aus 

 der Gleichung 



[f'(")T + WMf + ['>'(")f = ( A. a. 0. S. 6 1 5 ) 



ergeben 



[Ä'(?<)] = — 4a(l — a)/_,5r^!/"' +f„' + c,'M + 6v«"+ • •, 

 eine Entwickelung , welche aus dem Grunde nicht zulässig ist, weil 

 die Function ä(m), wie vorher gezeigt worden ist, für die Umgebung 

 des Wei'thes m^O mit Einschluss desselben den Charakter einer 

 ganzen Function besitzt. 



Wäre nun der Goefficient /_, von verschieden , so müsste g„=0 

 sein und es würde die Entwickelung der Function 4>(u) mit einem 

 Gliede beginnen, welches die Potenz u^'''" als Factor enthielte; analoger- 

 vveise würde die Entwickelung der Function xp^i^'i) mit einem Gliede 

 beginnen , welches die Potenz m,'+" als Factor enthielte : es müsste 

 daher für kleine Werthe von \ti\ bis auf kleine Grössen von höherer 

 Ordnung als der Ordnung 1-a die Gleichung 



