1248 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom 20. December. 



gelten. Die nacli Potenzen der Argumente «, m, fortschreitende, für 

 die Umgebung des Werthepaares m = 0, m,=0 geltende Reihenentwicke- 

 lung kann aber nicht mit dem AnfangsgUede /l,«'"" beginnen, weil 

 positiven Werthen der Argumente «, «, Punkte der Strecke OA, nega- 

 tiven Werthen derselben Argumente dagegen Punkte der Strecke OB 

 entsprechen, während die Bogenzahl des Winkels, den die Strecke OB 

 mit der Strecke OA einsclüiesst, gleich -an, aber nicht gleich {l-a)7t ist. 



Es muss also der Coefficient /_, den Werth haben. 



Durch die vorstehenden Untersuchungen ist also festgestellt, dass 

 für die Umgebung des singulären Werthes u = die Functionen /(«), 

 g{u), h{u) durch Potenzreihen von folgender Form darstellbar sind 

 f{u) = u'-''(f„+f,u+f,u'+--) + u" {9,+9,u+g,u-+- ■), 



h (m) = iu{h„ + h,u + Ku- + • ■ ). 

 Es ist bereits bewiesen, dass sämmtliche Coefficienten h„,h,,/K,-- 

 reelle Werthe haben; es soll gezeigt werden, dass auch sämmtliche 

 Coefficienten /„,./;,./;,••; 9,^9x,9,,-- in Folge der gestellten Bedingungen 

 reelle Werthe besitzen. 



Um dies zu beweisen möge zunächst angenommen werden, dass 

 die Grösse a. nicht gleich h ist. Unter dieser Voraussetzung ergibt 

 sich aus der Bedingung, dass für alle der Umgebung des Werthes 

 M = angehörenden positiven reellen Werthe des Argumentes u , falls 

 beiden Potenzen «'"", u" ihre positiven Werthe beigelegt werden, die 

 Coordinate y den Werth ü anneluuen soll, — dass für alle diese 

 Werthe des Argumentes der reelle Theil der Function 9{u) gleich 

 sein muss. Hieraus folgt aber, dass sämmthche Coefficienten fo^'/vA^'-'- 

 9<,'9tt9i^' reelle Werthe haben müssen. 



Für den besonderen Fall a = i reicht die angegebene Bedingung 

 zu der angegebenen Schlussfolgerung nicht aus, denn es ergibt sich 

 nur, dass ausser dem Coefficienten 9„ für jeden positiven Werth des 

 Index n die Differenz 9„-f„_, einen reellen Werth besitzen muss. In 

 diesem Falle entspricht den der Umgebung des Werthes m = an- 

 gehörenden reellen negativen Weithen des Argmnentes u ein Stück 

 der y-Axe, da die geradlinige Strecke OB in derselben liegt. Es ist 

 daher fiii- negative Werthe von u, uz=-r, die Coordinate x, der reelle 

 Theil der Function /(«), gleich 0. Es ist also der reelle Theil von 



,/'(-'•) = -^r'-{f-f\r+fy----) + ir^{g^-g^r+9y---) 



gleich 0. Hieraus folgt, dass für jeden positiven Werth von n die 

 Summe 5'„+/„_, einen reellen Werth haben muss. Da die Diffe- 

 renz §',-/,_,, Avie vorher nachgewiesen wurde, ebenfalls einen 

 reellen Werth haben muss , so müssen die Coefficienten 9„ und /„., 



