Schwarz: Zur Theorie der Minimalflächen. 1249 



einzeln reelle Werthe haben. Die Richtigkeit der ausgesprochenen 

 Behauptung ist also allgemein dargethan. 



Die Coefficienten /„ , / , /, , • • ; g^, g^, g,, • ■ ; h„,h^,h„, ■■ sind nicht 

 von einander unabhängig; zwischen denselben bestehen diejenigen 

 Gleichungen, deren ErfuUtsein noth wendig ist und hinreicht, damit 

 die Bedingungsgleichung 



identisch befriedigt sei. 



In dem Folgenden wird vorausgesetzt, dass den angegebenen 

 Coefficienten nur solche Werthe beigelegt werden, für welche, bei 

 Beschränkung der Veränderlichkeit des Argumentes 71 auf diejenigen 

 Werthe, welche dem absoluten Betrage nach kleiner sind als eine 

 gewisse von verschiedene Grösse i?„, die vorstehende Bedingungs- 

 gleichung identisch erfüllt ist. 



m. 



Wenn die Veränderlichkeit der complexen Grösse u auf die dem 

 Gebiete 



^ I M I < ß^ , ^-Siilogu^Tr 



angehörenden Werthe beschränkt wird, und den Potenzen »r"° imd 

 m" ihre Hauptwerthe beigelegt werden, so stellen die Gleichungen 



X z= mf(u) , y = mg{u), r = 5R Ä (m) 



ein Flächenstück M analytisch dar, welches ein Theil einer Minimal- 

 fläche ist und dessen Begrenzung zwei geradlinige Strecken enthält, 

 die im Punkte eine Ecke der Begrenzungslinie bilden. 



Es wird nun die Forderung gestellt: Falls der Grösse B„ ein hin- 

 reichend kleiner Werth beigelegt worden ist, soll das Flächenstück M 

 ein einfaches Flächenstück in dem Sinne sein, dass niemals zu zwei 

 von einander verschiedenen , dem betrachteten Gebiete angehörenden 

 Werthen des Argumentes « in Folge der Gleichungen 



X = fRf(u) , y = dig{u), z = Üih (u) 



derselbe Punkt des Raumes gehört. 



Zur Erfüllung dieser Forderung ist nothwendig, dass die Coeffi- 

 cienten /(, und g„ nicht beide zugleich den Werth haben: es 

 reicht zugleich hin, dass diese Bedingung erfüllt ist, um schliessen 

 zu können, dass der gestellten Forderung genügt wird. 



Es sind hiernach drei Fälle zu unterscheiden: 



1. Es ist weder /„ noch g„ gleich 0. 



2. Es ist /„ gleich und g^ nicht gleich 0. 



3. Es ist /„ nicht gleich und g„ gleich 0. 



