1250 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom 20. December. 



I. Der erste Fall tritt stets dann und nur dann ein, wenn alle 

 Punkte des Flächenstückes M, welche den dem Werthe m=0 benach- 

 barten Werthen des Argumentes « entsprechen, auf ein- und derselben 

 Seite der Tangentialebene r = liegen. Denn unter dieser Voraus- 

 setzung darf die Coordinate z in der Nähe des Werthes u ihr Zeichen 

 nicht wechseln, wenn die Veränderüchkeit des Argumentes u auf das 

 Innere des angegebenen Gebietes und zwar auf die Nachbarschaft des 

 Werthes u — beschränkt wird. Es darf daher die Grösse h, nicht 

 gleich sein. Aus der Gleichung 



[/(«)]> b'(«)]'+R*'(«)]'' = o 



ergibt sich aber, dass zwischen den drei Grössen /„, g„. A„ die Beziehung 



4a(2-a)/„y„ = Ä= 

 besteht. Es kann also weder die Grösse /„, noch die Grösse g„ den 

 Werth haben, wenn /*„ einen von verschiedenen Werth hat. 



Dieser Fall tritt also auch jedesmal dann ein, wenn die gegebene 

 Begrenzungslinie L eines Minimalflächenstückes ganz auf einer Seite 

 der Ebene liegt, welche durch die beiden einen Theil der Begrenzung 

 bildenden geradlinigen Strecken OA und OB hindurchgeht. Ist dies 

 nämlich der Fall, so muss das von der Linie L begrenzte kleinste 

 Flächenstück ebenfalls ganz auf derselben Seite dieser Ebene liegen 

 wie die Linie L, weil sonst der Flächeninhalt des von der Linie L 

 begrenzten Flächenstückes ohne Veränderung der Randlinie würde 

 verkleinert werden können. Ist beispielsweise die Linie L ein von 

 vier geraden Strecken gebildetes räumliches Vierseit, d. h. ein Vier- 

 seit, dessen vier Ecken nicht in derselben Ebene liegen, so muss das- 

 jenige Flächenstück, welches unter allen von diesem Vierseit begrenzten 

 einfach zusammenhängenden Flächenstücken den kleinsten Flächen- 

 inhalt besitzt, — vorausgesetzt, dass es ein solches Flächenstück gibt — 

 ganz innerhalb des Tetraeders liegen, dessen 4 Ecken die Ecken des 

 betrachteten Vierseits sind. In der Nähe dieser vier Ecken wird dem- 

 nach das kleinste Flächenstück analoge Beschaffenheit besitzen, wie 

 das Minimalflächenstück M in der Nähe der Ecke 0, vorausgesetzt, 

 dass die Grösse ä„ einen von verschiedenen Werth hat. 



2. Der zweite Fall kann nur dann eintreten, wenn es möglich 

 ist, durch den Punkt eine Ebene so zu legen, dass die in der Nähe 

 des Eckpunktes liegenden Theile des Minimalflächenstückes M ganz 

 auf einer Seite dieser Ebene liegen. Unter dieser Voraussetzung ist 

 nämlich die Grösse g„ von verschieden. Damit aber die Grösse /„ 

 den Werth habe, ist nöthig, dass die Grösse ä„ gleich sei. Ist 

 aber die Grösse A„ gleich 0, so schneidet die durch die beiden 

 Strecken OA und OB hindurchgehende Ebene das Minimalflächen- 



