Schwarz: Zur Theorie der Minimalflächen. 1251 



stück M längs einer oder längs mehr als einer vom Eckpunkte 

 ausgehenden Linie. 



3. Der dritte Fall tritt nur dann — und unter der Voraus- 

 setzung, dass das betrachtete Flächenstück in dem angegebenen Sinne 

 ein einfaches ist, auch stets dann — ein, wenn bei einer von zwei 

 geradlinigen Strecken OA und OB gebildeten Ecke der Begrenzungs- 

 linie weder der erste, noch der zweite Fall eintritt. 



Ist ihf^u^''^' das erste Glied in der Reihe für h{u), welches einen 

 von verschiedenen Coefficienten hat , so theilt die Ebene ^ = das 

 Flächenstück M in ju+l Sectoren. 



Für die Functionen G-(u), H\u), -iGiujHiu) ergeben sich folgende 

 Entwickelungen : 



(r'{u) = ^ [«"($'„ +9,u+g,u- + ■■)], 



ii» = -Yu ["""(•^« +/'" +/="' + ■•)]' 

 2 G{u) H{n) = i ~r- \u {h, +/(,« + Kic +••)]• 



Hieraus erhält man, indem man setzt 



H(u) _ 1 '2G(u)H(ri) _ 

 'G(ü)~2' G'{u) ~*' 



au \ du du ) ' 



■' . ds 1 ( d ds\- „^ ^ 



7-^°S^^-^^[^^iog^^j = Fiu), 



zwei Functionen *(«) und F{u), welche füi- den Werth ?« = den 

 Charakter gebrochener rationaler Functionen haben. Für reelle Werthe 

 des Argumentes « haben diese Functionen ebenfalls reelle Werthe. 



Diese beiden Functionen $(«) und F{u) haben die ausgezeichnete 

 Eigenschaft, unabhängig zu sein von der Wahl des speciellen Systems 

 rechtwinkliger Coordinaten, auf welches das Minimalflächenstück M 

 bezogen wird. 



Entsprechen nämlich in Bezug auf zwei verschiedene Systeme 

 rechtwinkliger Coordinaten, bei denen die positiven Richtungen der 

 gleichnamigen Coordinatenaxen in demselben Sinne auf einander folgen, 

 demselben Pvmkte der Fläche die Werthe x, y, z, s und x', y , z, s , 

 so ist die complexe Grösse / eine rationale Function ersten Grades 

 der complexen Grösse s und zwar hängen die in derselben vorkom- 

 menden Constanten mu- von der gegenseitigen Lage der beiden Coor- 

 dinatensysteme ab. Bei der Vertauschung der Grösse s mit der Grösse 

 s bleibt aber die Function 



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