1252 Sitzung der physikalisch - mathematischen Classe vom 20. December. 

 d' , ds \ ( d dsV „ 



ungeändert. 



Die Function *(?<) ist von der Wahl des Coordinatensystems un- 

 abhcängig, weil das Quadrat ihres absoluten Betrages $(i<) •*,(«,) diese 

 Eigenschaft hat. Es ergibt sich ncämlich für das Quadrat der Länge 

 eines Linienelementes der Minimalfläche der Ausdruck 



dx" + dy" + dz- = {G(ii)G,(u,) + H{u)H,{u,)y- dudu,, 



während das Quadi-at der Länge des entsprechenden Linienelementes 

 der Kugelfläche mit dem Radius 1 durch die Gleichung 



dX^ + dY' + dZ^-- ^''^''^'''^''^-''^''^'''^''^^^^^ ^^^^ 



dJi +ar +az, -i {G(u)G,{u,) + H{u)H,{u,))- 



gegeben wird. Es ist demnach 



$(«)*,(«,) = {G(u)H'{u)-n{u)G'(u)) {G,(u,)H[{u,)-H,{u,)G[{u,)) 



_ 1 dX''+dY-+dZ'' dx-+dy-+dz' _ 1 1 [dx" + dy- + dzy 

 ~4 (dp' + dq^) {dp- + dq-) ~ 4 p' {dp- + dq-)- 



wo dp'+dq'' an die Stelle von dudu, gesetzt ist und p die Grösse des 

 Hauptkrümmungsradius der Minimalfläche in dem betrachteten Punkte 

 bezeichnet. Es bleiben aber die Ausdrücke dx'+dy'+dz', dX'+dy + dZ- 

 und p" bei einer Drehung des Coordinatensystems ungeändert, also 

 gilt dasselbe von der Function ^{u). 

 Fülirt man durch die Gleichung 



\du) 



* (m) oder w = /* (m) du 



eine complexe Grösse w ein, so ist die durch dieselbe vermittelte con- 

 foi-me Abbildung der Minimalfläche diejenige ausgezeichnete conforme 

 Abbildung der Fläche auf eine Ebene , bei welcher den beiden Schaaren 

 der Krümmungslinien zwei auf einander senkrechte Schaaren von 

 parallelen Geraden entsprechen. 



Das Bild jeder, die Krümmungslinien unter constantem Winkel 

 schneidenden Curve, unter Anderem jeder Asymptotenlinie der Minimal- 

 fläche ist also bei dieser Abbildung ebenfalls eine Gerade. Insbeson- 

 dere gilt diese Bemerkung in Bezug auf die geradlinigen Theile 

 der Begrenzung des betrachteten Minimalflächenstückes. 



Für jeden der oben erwähnten drei Fälle ergeben sich nun andere 

 Anfangsglieder in den nach Potenzen des Argumentes u fortschreitenden 

 EntWickelungen der drei Grössen s, *(«), F{u). Diese Anfangsglieder 

 sind in folgender Tabelle zusammengestellt. 



