Schwarz: Zur Theorie der Minimalflächen. 1255 



besitzen, wobei k„, l„, m^, k^, l^, m^,- ■ constante Grössen bezeichnen. 

 Für die Grösse m„ ergibt sich der Werth i{kj^-l„k^). 



Also ist die Function $(?«) eine rationale Function des 

 Argumentes u. 



Der Nenner derselben enthäU, lauter ungleiche Linearfactoren; 

 der Zähler derselben ist eine ganze Function des Argiunentes m mit 

 reellen Coefficienten , von einem mindestens um 4 Einheiten niedrigeren 

 Grade als der Nenner. 



Im Allgemeinen ist der Grad des Zählers nur um 4 Einheiten 

 kleiner als der Grad des Nenners, wenn nämlich m„ von verschieden 

 ist. Dies ist der Fall, wenn der dem Werthe ?< =: oo entsprechende, 

 der Randlinie L des Minlmalllächenstückes angehörende Punkt von 

 der Beschaffenheit ist, dass in dessen Nähe das betrachtete Minimal- 

 tlächenstück nicht unendlich nahe parallele Normalen besitzt. 



Ist n ^ 4, ist also die Randlinie L ein von vier geraden Strecken 

 gebildetes räumliches Vierseit, so ist 



Co 



<J> (u) ^= - , 



(m— c,) (u—c,_) {ii—c.J («— Cj) ' 



wo t'„ eine reelle , von verschiedene Constante bezeichnet. 



Diese Bestimmung der Function *(«) ist daher nicht nur, wie 

 in dem ersten Theile meiner Abhandlung »Bestimmung einer speciellen 

 Minimalfläche«' angegeben ist, die einfachste, sondern überhaupt 

 die einzige, welche in dem betrachteten Falle den gestellten Be- 

 dingungen genügt. 



Im allgemeinen Falle ist das Product 



n,.{u-c^)--^(u) — T{u) (v= 1,2, -n) 



eine ganze Function (n-4)'™ Grades des Argumentes u mit reellen 

 Coefficienten. Die Werthe des Argumentes u, für welche diese ganze 

 Function gleich wird, sind daher entweder reelle, oder paarweise 

 conjugirte complexe Grössen. Eine beliebige complexe Wurzel der 

 Gleichung T{ti) = mit positiv imaginärem Bestandtheile möge mit 

 a, die zu derselben conjugirte Wurzel möge mit «', eine beliebige 

 reelle Wurzel der Gleichung T{u) = möge mit b bezeichnet werden. 

 Dann ergibt sich, wenn C» eine reelle Constante bezeichnet, 

 T{u) = C„ n(ti-d) («.-«') no«-6). 



wo bei der Productbildung sämmtliche m-4 Wurzeln a, «', b der Glei- 

 chung T{u) = in Betracht zu ziehen sind.^ 



' Gesammelte mathematische Abhandhingen des Verfassers, Bd. i, S. 19. 



- Die Bezeichnung der Werthe a. a' . h schliesst sich an diejenige Bezeichnung 

 an, von welcher im §. 13 der angeführten posthumen Abhandlung Riemann's Gebrauch 

 gemacht wird. 



