Schwarz: Zur Tlieorie der Minimalllächen. 1257 



schiedenen Werth besitzt, so hat die Function 



F^u) =. f. log p-Uf log ^X 

 ^ ' du- ^ du 2\du ^ du) 



für jeden der Werthe u — u den Charakter einer ganzen Function. 



Die Function F{u) besitzt demnach für alle von den Werthen 

 a, b, c^ verschiedenen, dem Gebiete ^angehörenden endlichen Werthe 

 des Argumentes ?« den Charakter einer ganzen Function. 



Ist u-a ein )u-facher, aber nicht ein (ju + 1 ) - facher Factor der 

 ganzen Function T{u), so ergibt sich — G{a) ist nach der über die 

 Wahl des Coordinatensystems getroffenen Voraussetzung nicht gleich 

 — , dass die Function F{u) fiir den Werth m = a den Charakter einer 

 gebrochenen rationalen Function besitzt, und dass die fiir die Um- 

 gebung des Werthes u = a geltende Entwickelung der Function F{u) 

 nach Potenzen der Grösse u — a mit dem Gliede 



2 ' [u- df 



beginnt. 



Hierbei ist zu bemerken, dass zwischen den Coefficienten der 

 auf dieses Anfangsglied folgenden |u + 1 Glieder der erwähnten Ent- 

 wickelung eine Relation besteht, welche ausdrückt, dass das allge- 

 meine Integral s der Differentialgleichung 

 d"- ds lid. dsV (|u+ 1)^-1 1 «. , ^ 



di?^''^di.-2W''Sdul= 2 ö.^^ + ^^^+^■+^^("-«)+•■ 



in der Umgebung des Werthes u = a sich wie eine eindeutige 

 Function des Argumentes u verhält, oder, anders ausgedi'ückt, dass 

 der Werth u = a nach der Bezeichnungs weise des Hrn. Weiekstrass 

 fiii' das allgemeine Integral dieser Differentialgleichung ein auss er- 

 wesentlich singulärer Werth ist. 



Es gibt eine nach Potenzen der Grösse u~a mit ganzzahligen 

 Exponenten fortschreitende convergente Potenzreihe, deren erstes Glied 



ds 

 {u-a) ^'' ist, welche, für -j- gesetzt, der angegebenen Differential- 

 gleichung genügt, und deren Coefficienten ganze rationale Functionen 

 der Coefficienten p„. p^, p.,,- sind. In dieser Reihe muss der Coefficient 

 des mit der Potenz («-a)"' multiiilicü-ten Gliedes den Werth haben.' 

 Für fx = 1 ergibt sich z. B. diese Bedingungsgleichung in der Gestalt 



pl + 2p, = 0. 

 Es besitzt also die Function F{u) für alle dem Gebiete E ange- 

 hörenden endlichen Werthe des Argumentes u den Charakter einer 



' Eine weitere Ausführung enthält die Abhandlung: Über diejenigen Fälle, in 

 welchen die GAUSsische hj-pergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres 

 vierten Elementes darstellt. Gesammelte mathematische Abhandlungen des Verfassers, 

 Bd. 2. S. 228-230. 



