Schwarz: Zur Theorie der Minimalflächen. 1259 



heiten. Durch Einfülirung einer solchen neuen Veränderlichen v wird 

 die Form der Differentialgleichung nicht geändert, da sich ergibt 



i^h 



2. Weil die für unendlich grosse Werthe des Argumentes u 

 geltende, nach Potenzen von «"' fortschreitende Reihenentwickelung 

 der Function F{ii) mit einem Gliede von der Form 6"«"' beginnen muss, 

 also 3 Gleichungen zu erfüllen sind, vermindert sich die angegebene 

 Constantenzahl um fernere 3 Einheiten. 



3. Wegen der Bedingung, dass das allgemeine Integral s der Diffe- 

 rentialgleichung ^(«, m) := F(u) in der Umgebung der Werthe u=:a, a, b 

 sich wie eine eindeutige Function des Argumentes u verhalten muss, 

 müssen n - 4 Bedingungsgleichungen erfüllt sein ; es vermindert sich 

 aus diesem Grunde die angegebene Constantenzahl um fernere n - 4 

 Einheiten. 



Die Diiferentialgleichung i {s , u) =^ F{u) enthält den vorstehenden 

 Betrachtungen zufolge 4« — 10 Parameter. 



4. Diese Anzahl der willkürlichen Parameter ist nun für die vor- 

 liegende Aufgabe noch lun «— 3 Einheiten zu vermindern, wie so- 

 gleich nachgewiesen werden soll. 



Bei der durch jjarallele Normalen vermittelten conformen Ab- 

 bildung einer Minimaltläche auf die Fläche einer Kugel vom Radius 1 

 entspricht jedem auf der Minimalfläche liegenden Stücke einer gera- 

 den Linie ein Bogen eines grössten Kreises der Kugelfläche. Durch 

 stereographische Projection wird diese Kugelfläche auf eine Ebene 

 conform abgebildet , deren Punkte die Werthe der complexen Grösse s 

 geometrisch darstellen. In dieser Ebene entspricht demnach der Halb- 

 ebene E, welche eine conforme Abbildung des Minimalflächenstückes M 

 ist, ein Gebiet S, dessen Begrenzung von w Kreisbogen bez. gerad- 

 linigen Strecken gebildet wird. 



Wird festgesetzt, dass eine geradlinige Strecke als ein specieller 

 Fall, bez. als ein Grenzfall eines Kreisbogens gelten soll, so kann 

 das Gebiets ein Kreisbogenpolygon mit n Ecken genannt werden. 



Es möge vorausgesetzt werden, dass alle Wurzeln der Gleichimg 

 T{u) = von einander und von den Grössen c^ verschieden seien. In 

 diesem Fall besitzt das Innere der RiEMANN'schen Fläche, durch welche 

 das Gebiet ä geometrisch dargestellt wird, an jeder Stelle, welche 

 einem der Werthe u = a entspricht , einen Windungspunkt erster Ord- 

 nung. Die Anzahl dieser Windungspunkte sei n'. Jede Randstelle, 

 welche einem der Werthe m = 6 entspricht, ist ein Umkehrpunkt der 

 Randlinie des Gebietes S. Die Anzahl dieser Umkehrpunkte sei n". 



