1260 Sitzung der physikalisch - mathematischen Classe vom 20. December. 



Nun ist das Kreisbogenpolygon S mit n Ecken, mit den im 

 Inneren desselben liegenden n' Windungspunkten und den auf der 

 Begrenzung desselben liegenden n" Umkehrpunkten der Randlinie, 

 nicht das allgemeinste seiner Art, sondern ein besonderes, 

 und zwar besteht die Besonderheit desselben darin, dass alle n Kreise, 

 welchen die Seiten des Kreisbogenpolygons S angehören, durch die- 

 selbe stereographische Projection in grösste Kreise der Kugel über- 

 gehen. 



Das allgemeinste Kreisbogenpolygon mit n Ecken, dessen Inneres 

 »' Windungspunkte erster Ordnung, dessen RandUnie n" Umkehrpunkte 

 enthält, — wobei angenommen wird, dass zwischen den drei ganzen 

 Zahlen n, n', n" die Beziehung 



2n' + n" = «— 4 

 besteht — , hängt ab von in- 4 von einander unabhängigen Parametern. 

 Betrachtet man aber alle diejenigen Kreisbogenpolygone dieser Art, 

 welche durch conforme AbT)ildung vermittelst einer gebrochenen 

 Function ersten Grades in einander übergeführt werden können, als 

 nicht wesentlich von einander verschieden, so ist diese Anzahl von 

 4n- 4 Parametern um 6 Einheiten zu verringern, weil eine gebrochene 

 Function ersten Grades von 6 reellen Constanten abhängt. Dies er- 

 gibt 4«-10 Parameter, übereinstimmend mit der Anzahl von Para- 

 metern, welche die Differentialgleichung 'i{s,u) =^ F{u) dem Vorher- 

 gehenden zufolge enthält, vorausgesetzt, dass den unter i, 2 und 3 

 angeführten Bedingungen genügt wird. In der That lässt sich be- 

 weisen, dass die conforme Abbildung der Fläche E einer Halbebene 

 auf die Fläche eines Kreisbogenpolygons von dem zuletzt betrach- 

 teten Grade der Allgemeinheit, vorausgesetzt, dass diese Fläche 

 einfach zusammenhängend ist, stets auf eine Differentialgleichung von 

 der Form 'V{s,u) = F(u) führt, welche 4«— 10 Parameter enthält und 

 ftir welche die unter i, 2, 3 angegebenen Bedingungen erflillt sind. 



Damit es nun möglich sei, ein solches Ki-eisbogenpolygon durch 

 eine stereographische Projection so auf eine Kugelfläche zu projiciren, 

 dass aUen die Begrenzung desselben bildenden Kreisbogen gleichzeitig 

 Bogen grösster Kreise entsprechen, müssen die angeführten 4?(-10 

 Parameter n-3 Bedingungen genügen, wie sich durch folgende Über- 

 legung ergibt. 



Man betrachte 3 Seiten des Kreisbogenpolygons, welche 3 ver- 

 schiedenen Kreisen angehören. Damit es möglich sei , diese 3 Kreise 

 durch dieselbe stereographische Projection in 3 grösste Kreise der 

 Kugel überzuführen , ist es nothwendig und reicht es hin , dass zwei 

 dieser Kreise einander in zwei von einander verschiedenen Punkten 

 schneiden, von denen der eine innerhalb, der andere ausserhalb 



