Schwarz: Zur Theorie der Minimaltlächen. 1265 



formen Abbildung des Minimalflächenstückes M auf eine Kugelfläclie 

 vom Radius 1 diesem Flächenstücke entspricht, durch die Randlinie 

 L desselben bereits bestimmt. 



Es entspricht nämlich hierbei dem Minimaltlächenstücke M die 

 schlichte Fläche eines von 4 Bogen grösster Kreise der Kugel be- 

 grenzten sphaerischen Vierseits und zwar liegt die Fläche dieses 

 sphaerischen Vierseits ganz auf einer Seite jedes der vier grössten 

 Kreise der Kugel, denen die 4 Seiten desselben als Bogen angehören. 

 Hieraus ergibt sich, dass für jede bestimmte Wahl des Coordinaten- 

 systems die conforme Abbildung »S des IVIinimalflächenstückes M auf 

 diejenige Ebene, deren Punkte die Werthe der complexen Grösse s 

 geometrisch darstellen, ebenfalls bekannt ist. Durch geeignete Wahl 

 des Coordinatensystems kann nun stets und zwar auf unendlich mannig- 

 faltige Weise erreicht werden, dass das Kreisbogenviereck S ganz im 

 Endlichen liegt und von einer convexen Randlinie eingeschlossen 

 wird. Hierzu ist bloss erforderlich , einen solchen Punkt der Kugel- 

 fläche vom Radius 1 zum IVIittelpunkte der Projection zu wählen, 

 welcher einem dem Inneren des betrachteten sphaerischen Vierseits 

 angehörenden Punkte der Kugelfläche diametral gegenüberliegt. 



Man kann nun beweisen, ohne von der Schlussweise des so- 

 genannten DiKicHLET"schen Princips Gebrauch zu machen,' dass es 

 stets möglich ist, die Fläche eines einblättrigen, von einer convexen 

 Randlinie begrenzten eigenen Bereiches auf die Fläche eines Kreises, 

 mithin auch auf die Fläche einer Halbebene zusammenhängend und 

 in den kleinsten Theüen ähnlich abzubilden. 



Wählt man zu dieser Halbebene den im vorhergehenden Ab- 

 schnitte IV erklärten Bereich E, dessen Punkte die Werthe der com- 

 plexen Grösse u geometrisch dai-steUen, und bezeichnet, unter Bei- 

 behaltung der bisher angewendeten Bezeichnungsweise , die 4 Werthe 

 des Argumentes u, welche den 4 Ecken des sphaerischen Vierseits ent- 

 sprechen , mit 6-, , Cj , fj , Cj , so ergibt sich , dass nicht nur der Werth 

 des Doppel Verhältnisses (c, , e, , c,, cj durch die Gestalt des sphaerischen 

 Vierseits eindeutig bestimmt ist, sondern dass zugleich alle übrigen 

 Constanten der Function F{ii) =- *(«,«) abgesehen von 3 reellen Con- 

 stanten einer gebrochenen Function ersten Grades des Argumentes u 

 (man vergleiche das im Abschnitte IV unter i Gesagte) ebenfalls ein- 

 deutig bestimmt sind. 



Man kann daher die complexe Grösse s als eine innerhalb des 

 Gebietes E eindeutig erklärte bekannte Function des Argumentes u 

 betrachten. 



' Zur Theoi-ie der Abbildung. Gesammelte mathematische Abhandlungen des 

 Verfassers, Bd. 2, S. 108 — 132. 



