2 Kummer: 



§. 1. 

 Die sämmtlichen primitiven Wurzeln der Gleichung 



Cü" = 1, 



in welcher n eine beliebig zusammengesetzte Zahl bedeutet, deren Anzahl 

 bekanntlich gleich der Anzahl aller Zahlen ist, welche kleiner als ii und re- 

 lative Primzahlen zu n sind, also nach der von Gaufs eingeführten Bezeich- 

 nung gleich (l'iti), sind die Wurzeln einer bekannten Gleichung des Grades 

 <p(7i) mit ganzzahligen Coefßcienten , in welcher der Coefficient der höch- 

 sten Potenz gleich Eins ist. Hieraus folgt, dafs jede ganze complexe Zahl, 

 als ganze und ganzzahlige rationale Funktion einer primitiven Wurzel w, in 

 die Form gesetzt werden kann 



F(w) = a + a i ü) + a2 u)^ -i- . . . . + flr^,„)_, w'*''"'"' ; 

 alle höheren Potenzen des w können nämlich mit Hülfe der Gleichung des 

 Grades (p{n) eliminirt werden. Aus der Irreduktibilität dieser Gleichung, 

 deren Wurzeln die sämmtlichen primitiven Wurzeln der Gleichung et»" = 1 

 sind, welche zuerst von Kronecker in Liouville's Journal, Jahrgang 1854 

 pag. 177 sqq. bewiesen worden ist, folgt ferner unmittelbar, dafs eine be- 

 stimmte complexe Zahl/^(w) sich nur auf eine einzige Weise in die obige Form 

 setzen läfst. Eben so folgt daraus weiter, dafs wenn F(w) durch eine nicht- 

 complexe ganze Zahl c theilbar sein soll, alle </>(«) Coefficienten derselben, 

 a, a^, a^, etc. einzeln durch c theilbar sein müssen. Die Congruenz 

 F{'ji) = 0, mod. c, enthält daher <p(n) Congruenzen unter nichtcomplexen, 

 ganzen Zahlen in sich und ist mit diesen vollkommen gleichbedeutend. 



Setzt man in eine complexe Zahl -F(w) für w nacheinander alle primi- 

 tiven Wurzeln der Gleichung w" ^ i , so erhält man (p (ri) zusammengehö- 

 rige complexe Zahlen, welche conjugirte heifsen sollen. Diese conjugirten 

 complexen Zahlen sind also alle von der Form F{}/'), wo k relative Prim- 

 zahl zu n ist; wenn aber k mit n einen gemeinschaftlichen Faktor hat, w* 

 also nicht primitive Wurzel ist, so soll F{^m) nicht als conjugirte Zahl zu 

 jF(w) angesehen werden, in diesem Falle ist auch die obige allgemeine Form 

 für F{'Ji) oder F{w ) keine bestimmte mehr. 



Das Produkt aller <p{ii) mit F(ü)) conjugirten complexen Zahlen, 

 welches als symmetrische Funktion aller primitiven Wurzeln der Gleichung 



