Zur Theorie der complexen Zahlen. 3 



w" = 1 nothvvendig eine nichtcomplexe ganze Zahl ist, soll die Norm von 

 F{u:') heifsen und durch NFiw) bezeichnet werden. 



Da jede complexe Zahl F(w) ein Faktor ihrer Norm, also Faktor 

 einer nichtcomplexen ganzen Zahl ist, so folgt, dafs auch alle complexen 

 Faktoren des F{y}) als Faktoren nichtcomplexer ganzer Zahlen angesehen 

 werden können. Aus diesem Grunde werden wir auch die zu untersuchen- 

 den idealen Primfaktoren der complexen Zahlen überall als Piimfaktoren 

 nichtcomplexer ganzer Zahlen, und weil diese selbst nur aus nichtcomplexen 

 Primzahlen zusammengesetzt sind, als ideale Primfaktoren der nichtcomple- 

 xen Primzahlen betrachten. Diese gewöhnlichen Primzahlen sind nun 

 entweder solche, welche nicht in n enthalten sind, oder sie sind Faktoren 

 des n. Demgemäfs werden auch zwei verschiedene Arten idealer Primfak- 

 toren gesondert zu betrachten sein , nämlich erstens die idealen Primfakto- 

 ren der nicht in n enthaltenen gewöhnlichen Primzahlen imd zweitens die 

 idealen Primfaktoren der in 72 enthaltenen gewöhnlichen Primzahlen. Die 

 idealen Primfaktoren der zweiten Art, welche stets nur einer endlichen be- 

 schränkten Anzahl gewöhnlicher Primzahlen angehören, werden hierbei ge- 

 gen die der ersten Art nur als Ausnahmen anzusehen sein, deren besondere 

 Eigenthiimlichkeiten nach der allgemeinen Untersuchung der idealen Prim- 

 faktoren der ersten Art und mit Hülfe derselben behandelt werden sollen. 



Es sei f/ eine Primzahl, welche nicht in n enthalten ist, und t der Ex- 

 ponent, zu welchem «7 gehört, für den Modul /?, so dafs 



17' ^ I, mod. «, 

 dafs aber kein kleinerer Exponent als / existire, für welchen diese Congruenz 

 Statt habe. Es sind dann die Potenzen 



'' 7' 7% 7^ 7'"' 



in Beziehung auf den Modul n alle verschieden von einander. Ferner ist 

 nach bekannten Principien 



F(w)'=F((^'), mod. 7, 

 und allgemein für jeden ganzzahligen Werth von h 



F{w)''' = F{üü'''), mod. 7, 

 also wenn h gleich einem Vielfachen von t, h = kt genommen wird, weil 



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