4 Kummer: 



(f" ^ 1, mod. n, ist 



F^uif ' = F(w), mod. q. 



Hieraus folgt: Wenn i^(w) nicht durch (j theilbar ist, so ist auch 



keine Potenz von F{(jü) durch q theilbar. Wäre nämlich F{wy 



durch q theilbar, so müfste jede höhere Potenz ebenfalls durch q theilbar 



sein, darum, wenn /i: so grofs genommen wird, dafs ^*' > m ist, so müfste 



«/ 

 F{w)'^ durch q theilbar sein, also vermöge der obigen Gongruenz auch 



F{w) theilbar durch q. 



Nimmt man nacheinander Ä ^ o, i, 2, . . . . ^ — i und multiplicirt 



alle diese Congruenzen mit einander, so erhält man auch 



F{w) iH- ? + v^ + • . • + 9' - ' = F{w)F{u^')F{/) . . . Fi/ "), mod q. 

 Der aus den Wurzeln der Gleichung w" ■= i gebildete Ausdruck 



2 » — I 



11 1 



ro = c<j + 6ü+w + . . . . -\- ui 

 oder allgemeiner 



k kq kq' kq ~ ^ 



in welchem w eine primitive Wurzel dieser Gleichung bezeichnet und der 

 Index h alle möglichen ganzzahligen Werthe haben kann, welcher für 

 den allgemeineren Fall, wo n eine zusammengesetzte Zahl ist, genau die- 

 selbe Rolle spielt, als die Gaufsischen Perioden für den besonderen Fall, 

 wo in der Gleichung w" = i n eine Primzahl ist, soll nun ebenfalls mit dem 

 Namen Periode bezeichnet werden. 



Aus der Definition dieser Perioden ergiebt sich zunächst unmittelbar : 



so dafs man nur die Perioden 



ro,, ro^, 573, • • • • ^™> 

 zu betrachten hat. Diese zerfallen nun ihrer Natur nach in eben so viele 

 Gruppen, als n Divisoren hat. Ist nämlich d irgend ein Divisor von n, und 

 bezeichnen «, *,, «j, . . . . alle Zahlen kleiner als n, deren gröfster gemein- 

 schaftlicher Faktor mit n gleich d ist, so bilden die Perioden 



eine besondere Gruppe, welche als die zum Divisor d gehörende bezeichnet 

 werden soll. Die Perioden einer solchen Gruppe, deren Anzahl, wenn die 



