Xur Theorie der complexeii Zahlen. 5 



Gruppe zum Divisor J gehört, gleich (p{-^) ist, siud nicht alle verschieden 

 von einander, denn man hat offenbar 



^ sq sq'' 



Ist nun s(f der erste Index dieser Reihe, welcher congruent s ist, für den 

 Modul n, so ist, weil * mit n den gröfsten gemeinschaftlichen Faktor d hat, 

 <7^ ^ 1, mod. ^, und r der kleinste Exponent, welcher dieser Congruenz 

 genügt; also wenn q zum Exponenten t gehört, für den Modul -^, so sind 

 je T Perioden der zum Divisor d gehörenden Gruppe einander gleich, die 



Anzahl der verschiedenen daher nicht gröfser als y^'' ' , Es läfst sich auch 

 beweisen, dafs diese wirklich immer von einander verschieden sind, aufser 

 wenn sie alle gleich Null sind. Dieser Fall, dafs alle Perioden einer Gruppe 

 gleich Null werden, tritt allemal dann, aber auch nur dann ein, wenn n 

 eine nicht aus lauter verschiedenen Primfaktoren zusammengesetzte, sondern 

 irgend welche quadratische Faktoren enthaltende Zahl ist. Wir haben aber 

 für unseren gegenwärtigen Zweck nicht nöthig zu beweisen, dafs die oben 

 angegebene reducirte Anzahl der Perioden einer Gruppe, wenn diese nicht 

 alle gleich Null sind, wirklich aus lauter verschiedenen besteht, noch auch 

 zu untersuchen, in welchen Gruppen alle Perioden gleich Null sind; denn 

 die Methode, welche wir gebrauchen werden, so wie auch die durch die- 

 selbe zu erlangenden Resultate setzen nicht voraus, dafs die Perioden wirk- 

 lich verschieden sind und gelten eben so, wenn gewisse Perioden gleich 

 Null werden. 



Die sämmtlichen Perioden einer Gruppe sind immer die 

 Wurzeln einer Gleichung des so vielten Grades, als die 

 Gruppe Perioden enthält, mit ganzzahligen Coefficienten, 

 in welcher der Coefficient der höchsten Potenz der Unbe- 

 kannten gleich Eins ist. 



Bildet man nämlich das Produkt 



für alle Perioden der zum Divisor d gehörenden Gruppe , wobei man sich 

 auch nur auf diejenigen ^^■'' Perioden beschränken kann, die sich schon 

 beim Anblick wenigstens als formal verschieden zeigen, so sind die symme- 



