f, Kummer: 



Irischen Funktionen der Perioden ir , nj , zr .... zugleich symmetrische 



Funktionen aller primitiven Wurzeln der Gleichung u" = i , also nur ganze 

 Zahlen. In den Fällen, wo alle Perioden der Gruppe gleich Null sind, 

 wird P(z) zu einer blofsen Potenz von z. 



Das Produkt zweier Perioden, sei es dafs sie einer und 

 derselben, oder auch verschiedenen Gruppen angehören, 

 läfst sich immer als lin eäre Funktion derPerioden darstellen. 



Multiplicirt man nämlich die beiden Perioden 



h hg hq f'l ~ 



h 



k kq kq kq ~ 



k 



mit einander in der Art, dafs jedes Glied des Multiplicators zuerst mit dem 

 in derselben Stelle stehenden des Multiplicandus, sodann mit dem darauf 

 folgenden Gliede, sodann mit dem um zwei Stellen folgenden u. s. w. ver- 

 bunden wird, so erhält man 



^^^f,= ^k+h + "^k + hq + "^k-i-hq"- + + ""k + hq'-^ 



Diese Gleichung, in welcher k und h alle Zahlen 1, 2, 3, . . . n bezeichnen 

 können, repräsentirt ein System von n'^ Gleichungen, auf welchem die Rech- 

 nung mit diesen Perioden und mit den dieselben enthaltenden complexen 

 Zahlen beruht. Vermittelst dieses Systems von Gleichungen kann jede be- 

 liebige ganze rationale Fimktion der Perioden als eine lineare Funktion 

 derselben dargestellt werden, auch können mit Hülfe desselben die Glei- 

 chungen gebildetwerden, welche allePerioden einerGruppe zu Wurzeln haben. 

 Eine complexe Zahl, welche nur die Perioden ro,, w^, ro, . . . cp^ ent- 

 hält, nicht aber aufserdem noch Wurzeln der Gleichung w" = 1 , welche 

 also immer als lineare Funktion dieser Perioden dargestellt werden kann, 

 bezeichne ich im allgemeinen kurz durch F{w^) anstatt F{w,, w^, . . . w^), 

 so dafs 



F{w,) = a -4- a, sj, + a^w^ . . . . -t- a^w^, 



wo die erste Periode 31, als Repräsentant aller Perioden anzusehen ist. Die 

 conjugirte complexe Zahl, welche aus -F(ro,) entsteht, wenn die primitive 

 Wurzel w in w' verwandelt wird, soll demgemäfs durch F(ro ) bezeichnet 

 werden, so dafs allgemein 



