Zur Theorie der complexen Zahlen. 7 



F{w^ ) = a + a, c, 4- a^ ''_,, + .•..+ a„3J„, 

 ist. Die Anzahl der verschiedenen zu F{w,) conjugirten complexen Zah- 

 len ist hier nicht gleich </>("), sondern nur gleich -—' , weil von den (p(n) 

 complexen Zahlen, welche man aus F{w ^) erhält, wenn man für w nach ein- 

 ander alle primitiven Wurzeln der Gleichung w" = i setzt, offenbar je t 

 einander gleich sind. Ich setze nun 



tpin) 



___ = ., 



welche abgekürzte Bezeichnung auch in dem Folgenden überall angewendet 

 werden soll ; ferner bezeichne ich durch 



'•.. '"s. '•3. ^. 



diejenigen v ganzen Zahlen, welche kleiner als n sind und relative Primzah- 

 len zu n, und von denen der Quotient zweier niemals einer Potenz von </ 

 congruent ist, für den Modul n : so sind : 



^i '"2 '■? '■>. 



u> , w , w ', .... w ' 



alle primitiven Wurzeln, welche in der complexen Zahl F(t) anstatt uj sub- 



stituirt, alle verschiedenen, mit F(w,) conjugirten complexen Zahlen geben, 



nämlich : 



n\> H\)' n\) ■■■■ ^{\y 

 §■ 3. 



Es soll nun gezeigt werden, wie den in dem vorigen Paragraphen auf- 

 gestellten Perioden immer gewisse ganzzahlige Congruenzwurzeln für den 

 Modul q entsprechen, in der Art, dafs jede rationale Gleichung unter den 

 Perioden, als Congruenz für den Modul f/ aufgefafst, befriedigt wird, wenn 

 anstatt der Perioden diese entsprechenden Congruenzwurzeln gesetzt werden. 

 Zu diesem Zwecke wird zunächst bewiesen, dafs die Gleichungen hö- 

 herer Grade, dcrenWurzeln die verschiedenen Perioden einer 

 und derselben Gruppe sind, wenn sie als Congruenzen für den 

 Modul {/ aufgefafst werden, stets reale Congruenzwurzeln 

 haben. 



Macht man nämlich Gebrauch von der Congruenz 



jij — (j — 2) (J — <7 + = J' - J' ™od. f/, 



welche identisch für jeden beliebigen Werth des y Statt hat, in der Art, 



