y Kummer: 



dafs wenn das Produkt linker Hand nach Potenzen von y entwickelt wird, 

 die Coefficienten der gleichen Potenzen yony auf beiden Seiten einzeln con- 

 gruent sind, mid setzt in derselben j = ^, ■, wo i ein ganz beliebiger Index 

 ist, also w^ eine beliebige Periode bezeichnet, so hat man bekanntlich 



CD, = ro , mod. q, 

 und daher 



ro (ro. — i) (cö, — 2) (tÄi,. — 9 + 1)^0, mod. </. 



Setzt man nun für / nach einander alle Indices einer und derselben Gruppe 

 der Perioden, welche s, s^, s^ . . . . sein mögen, so erhält man, wenn wie 

 im vorigen Paragraphen 



(^^rj^^^z-u,^){z-m^) = P(^) 



gesetzt wird, durch Multiplication aller dieser Congi-uenzen: 

 P(o) P(i) P(2) . . . . P(? — 1) = 0, mod. 9% 

 wo \j. die Anzahl der Perioden dieser Gruppe bezeichnet. Es müssen also 

 von den ganzen Zahlen P(o), P(i), P(;). ... immer einige, mindestens eine, 

 durch n theilbar sein, d, h. die Congruenz 



P(c) =0, mod. r/, 

 hat immer mindestens eine reale Congruenzwurzel. 



Es seien jetzt a' , a', , a,,, . . . o^_, alle von einander verschiedenen 

 Wurzeln der Congruenz P(r) ^ o, mod. q, und ro, eine Wurzel der Glei- 

 chung P(z) = 0, dagegen seien h' , b\, h'„ . . . b'^_^_^ alle Nichtwurzeln der- 

 selben Congruenz, so dafs die Zahlen a , a', . . . aj_ , , h,h\ . . . . b'^_^_^ 

 mit den Zahlen o, \, 2, . . . q — i, wenn auch in anderer Ordnvmg, voll- 

 ständig übereinstimmen : so kann die Congruenz 



ro (ro. — i) (jÄJ, — 2) (ir, — q -\- i) = 0, mod q 



folgendermaafsen dargestellt werden : 

 (a-3D,)(a',-5,,)....(al_,-:^,).(6'-i?,)(Z.',-^,)....(6;_„_,-^,) = 0,mod.r/, 



Da nun h' — 37,, b\ — tzi, u. s. w. Faktoren von P(Ä'), P(i'J u. s. w. sind, so 

 folgt hieraus 



(a-ro,)(a', -w).... {a\_,~w,). P(i') P(Ä',) .... P(6;_,_ ,) = 0, mod. y, 

 und weil b' , 6, . . . . i', _ «_ , Nichtwurzeln der Congruenz P(2) ^ 0, mod. q, 

 sind, so sind P(i'), P(^'i) • • • • P(^^_ <_ ,) durch q nicht theilbare ganze Zah- 

 len, durch welche diese Congruenz dividirt werden kann. Man hat demnach 

 (o' — a,) (a', — ro,) . . . . (o;_ , — u:,) = 0, mod. q. 



